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Généralités

Définition [Somme de sous-espaces vectoriels] On se donne $ F_1,...,F_n$ des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel $ E$. L'application $ \phi$ qui à $ (x_1,...,x_n)$ associe $ (x_1+x_2+...+x_n)$ est une application linéaire sur l'espace produit $ F_1 \times ... \times F_n$. L'image de $ \phi$ est appelée somme des sous-espaces vectoriels $ F_1,...,F_n$, et est notée $ F_1 + ... + F_n$ ou $ \sum_{i\in[1,n]} F_i$.

Propriétés:
$ \bullet\ $La somme des $ F_i$ contient tous les $ F_i$.
$ \bullet\ $L'espace vectoriel engendré par l'union des $ F_i$ est leur somme.

Définition [Somme directe de sous-espaces vectoriels] On dit que la somme de $ F_1,...,F_n$ est une somme directe lorsque la fonction $ \phi$ est injective. Au lieu de noter $ \sum F_i$ on peut alors noter $ \bigoplus F_i$

Propriétés:
$ \bullet\ $Cela revient à dire que tout vecteur de l'espace vectoriel somme s'écrit comme somme d'un élément de $ F_1$, d'un élément de $ F_2$, ... , d'un élément de $ F_n$, cette décomposition étant unique.
$ \bullet\ $La somme est directe si et seulement si pour tout $ j$ $ F_j \cap \sum_{i \neq j} F_i = \{0\}$.
$ \bullet\ $On peut encore simplifier ce critère; la somme est directe si et seulement si pour tout $ j$ $ F_j \cap \sum_{i=1..j-1} F_i = \{ 0 \}$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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