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Sous-sections

Espaces supplémentaires

$ \boxcircle$ Généralités

Définition Deux sous-espaces vectoriels d'un espace $ E$ sont dits supplémentaires lorsque leur somme est directe et égale à $ E$.

Propriétés:
$ \bullet\ $Deux espaces sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est $ \{ 0 \}$ et si leur somme est $ E$.
$ \bullet\ $Deux espaces sont supplémentaires si l'application $ \phi$ (voir la définition d'une somme de sous-espaces vectoriels) est bijective.
$ \bullet\ $Deux sous-espaces vectoriels qui sont supplémentaires d'un même sous-espace vectoriel sont isomorphes - preuve en considérant la projection sur le supplémentaire en question par rapport à l'un des deux sous-espaces; un espace supplémentaire du noyau est isomorphe à l'image, d'où le résultat - les définitions nécessaires arrivent plus bas). Exemples:
Dans $ \mathbb{K}^n$, l'espace vectoriel engendré par un vecteur $ (a_1,...,a_n)$ est supplémentaire de l'espace vectoriel des $ (x_1,...,x_n)$ tels que $ a_1.x_1+...+a_n.x_n=0$.


$ \boxcircle$ Applications aux applications linéaires. Projections, symétries.

Théorème Deux applications linéaires ayant les mêmes restrictions à deux espaces vectoriels supplémentaires sont égales.
Etant données deux applications linéaires définies respectivement de $ F_1$ dans $ G$ et de $ F_2$ dans $ G$, avec $ F_1$ et $ F_2$ deux supplémentaires de $ E$, il existe une et une seule application linéaire dont les restrictions à $ F_1$ et $ F_2$ soient ces applications.

Proposition Etant donné un sous-espace vectoriel $ H$, $ f$ une application linéaire, alors $ Ker\ f_{\vert H}=Ker\ f \cap H$

Théorème [Théorème noyau-image] $ Im\ f$ est isomorphe à tout supplémentaire de $ Ker\ f$.

Démonstration: Il suffit de considérer la restriction de $ f$ à un supplémentaire de $ Ker\ f$, et de montrer l'injectivité et la surjectivité.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Projection] On a vu que dans le cas où $ F$ et $ G$ étaient des espaces supplémentaires de $ E$, pour tout $ x$ il existait un unique $ (f,g) \in F \times G$ tel que $ x=f+g$. On appelle projection sur $ F$ parallèlement à $ G$ l'application qui à $ x$ associe $ f$.

Définition On dit qu'un endomorphisme $ f$ est idempotent lorsque $ f\circ f=f$. Un endomorphisme idempotent est aussi appelé projecteur.

Propriétés:
Etant donné $ p$ projecteur, on a:
$ \bullet\ $ $ E= Ker\ p \oplus Im\ p$
$ \bullet\ $ $ Inv p = Im\ p$
On note qu'une projection est un projecteur.

Proposition Un projecteur $ p$ est en fait la projection sur $ Im\ p$ parallèlement à $ Ker\ p$.

Démonstration: Il suffit de considérer les propriétés ci-dessus, elles-mêmes facilement démontrables.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ Id-f$ est un projecteur si et seulement si $ f$ est un projecteur.

Démonstration: Il suffit de développer $ (Id-f)^2$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Projecteurs associés] Deux projecteurs sont dits projecteurs associés lorsque leur somme est l'identité.

Proposition Si $ f$ et $ g$ sont deux projecteurs associés, alors $ Im\ f=Ker\ g$ et $ Im\ g=Ker\ f$.

Définition [Symétrie] $ A$ et $ B$ étant supplémentaires, on appelle symétrie par rapport à $ A$ parallèlement à $ B$ l'endomorphisme $ s$ tel que $ s_{\vert A}=Id$ et $ s_{\vert B}=-Id$.

On a vu plus haut qu'un endomorphisme pouvait être défini par ses restrictions sur deux espaces supplémentaires.

Définition [Involution] Un endomorphisme $ f$ est une involution lorsque $ f\circ f =Id$.

Définition Une symétrie $ s$ et un projecteur $ p$ sont dits associés lorsque $ s=2.p-Id$.

C'est le cas lorsque $ s$ et $ p$ se font par rapport au même espace et parallèlement au même espace.

Propriétés:

$ \bullet\ $Une symétrie est une involution
$ \bullet\ $Etant donnée $ s$ symétrie, $ E=Inv\ s \oplus Opp\ s$
$ \bullet\ $$ s$ est la symétrie par rapport à $ Inv\ s$ et parallèlement à $ Opp\ s$.
$ \bullet\ $Toute symétrie est associée à un projecteur, et tout projecteur est associée à une symétrie.

$ \boxcircle$ Dilatations, transvections

Définition Soit $ H$ un hyperplan d'un espace vectoriel $ E$, et $ D$ une droite supplémentaire de $ H$. On appelle dilatation d'hyperplan $ H$, de direction $ D$ et de rapport $ {\lambda}$ l'application linéaire dont la restriction à $ H$ est l'identité et dont la restriction à $ D$ est l'homothétie de rapport $ {\lambda}$.

Soit $ H$ un hyperplan d'un espace vectoriel $ E$, et $ h$ une forme linéaire de noyau $ H$. On appelle transvection d'hyperplan $ H$ une application de $ E$ dans $ E$ de la forme

$\displaystyle x \mapsto x+ h(x).u$

pour un certain $ u$ dans $ H$.

Attention! Ne pas se méprendre sur la notion de transvection d'hyperplan $ H$; il existe plusieurs transvections différentes d'hyperplan $ H$.

Rappelons que la proposition [*] signale que $ GL(E)$ est engendré par les transvections et les dilatations, et que $ SL(E)$ est engendré par les transvections.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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