• Généralités
• Applications aux applications linéaires. Projections, symétries.
• Dilatations, transvections

Espaces supplémentaires

Généralités

Propriétés:
Deux espaces sont supplémentaires si et seulement si leur intersection est et si leur somme est .
Deux espaces sont supplémentaires si l'application (voir la définition d'une somme de sous-espaces vectoriels) est bijective.
Deux sous-espaces vectoriels qui sont supplémentaires d'un même sous-espace vectoriel sont isomorphes - preuve en considérant la projection sur le supplémentaire en question par rapport à l'un des deux sous-espaces; un espace supplémentaire du noyau est isomorphe à l'image, d'où le résultat - les définitions nécessaires arrivent plus bas). Exemples:
Dans , l'espace vectoriel engendré par un vecteur est supplémentaire de l'espace vectoriel des tels que .

Applications aux applications linéaires. Projections, symétries.

Proposition Etant donné un sous-espace vectoriel , une application linéaire, alors

Théorème [Théorème noyau-image] est isomorphe à tout supplémentaire de .

Démonstration: Il suffit de considérer la restriction de à un supplémentaire de , et de montrer l'injectivité et la surjectivité.

Définition [Projection] On a vu que dans le cas où et étaient des espaces supplémentaires de , pour tout il existait un unique tel que . On appelle projection sur parallèlement à l'application qui à associe .

Définition On dit qu'un endomorphisme est idempotent lorsque . Un endomorphisme idempotent est aussi appelé projecteur.

Propriétés:
Etant donné projecteur, on a:


On note qu'une projection est un projecteur.

Proposition Un projecteur est en fait la projection sur parallèlement à .

Démonstration: Il suffit de considérer les propriétés ci-dessus, elles-mêmes facilement démontrables.

Proposition est un projecteur si et seulement si est un projecteur.

Démonstration: Il suffit de développer .

Définition [Projecteurs associés] Deux projecteurs sont dits projecteurs associés lorsque leur somme est l'identité.

Proposition Si et sont deux projecteurs associés, alors et .

Définition [Symétrie] et étant supplémentaires, on appelle symétrie par rapport à parallèlement à l'endomorphisme tel que et .

On a vu plus haut qu'un endomorphisme pouvait être défini par ses restrictions sur deux espaces supplémentaires.

Définition [Involution] Un endomorphisme est une involution lorsque .

Définition Une symétrie et un projecteur sont dits associés lorsque .

C'est le cas lorsque et se font par rapport au même espace et parallèlement au même espace.

Propriétés:

Une symétrie est une involution
Etant donnée symétrie,
est la symétrie par rapport à et parallèlement à .
Toute symétrie est associée à un projecteur, et tout projecteur est associée à une symétrie.

Dilatations, transvections

Définition Soit un hyperplan d'un espace vectoriel , et une droite supplémentaire de . On appelle dilatation d'hyperplan , de direction et de rapport l'application linéaire dont la restriction à est l'identité et dont la restriction à est l'homothétie de rapport .

Soit un hyperplan d'un espace vectoriel , et une forme linéaire de noyau . On appelle transvection d'hyperplan une application de dans de la forme

Ne pas se méprendre sur la notion de transvection d'hyperplan ; il existe plusieurs transvections différentes d'hyperplan .

Rappelons que la proposition signale que est engendré par les transvections et les dilatations, et que est engendré par les transvections.