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Formes bilinéaires

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Sous-sections

$\boxcircle$ Le cas général
$\boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

Formes bilinéaires

$\boxcircle$ Le cas général

Définition On appelle forme bilinéaire sur une forme multilinéaire de ${\cal L}_2(E)$

.
Etant donnée $\phi$ une forme bilinéaire on note $^t\phi$ l'application $(x,y)\to \phi(y,x)$ .

Il est immédiat que $\phi$ est symétrique si $\phi=^t\phi$ , et que $\phi$ est antisymétrique si $^t\phi=-\phi$ .

Proposition $\bullet\$ L'application qui à $\phi$ associe $^t\phi$ est un automorphisme involutif de ${\cal L}_2(E)$ .
$\bullet\$ ${\cal L}_2(E)$ est somme directe des deux sous-espace vectoriel de ${\cal L}_2(E)$ respectivement constitués des formes bilinéaires symétriques et des formes bilinéaires antisymétriques. On a en fait $\phi=a+s$ avec $s=\frac{^t\phi+\phi}2$ , $a=\frac{\phi-^t\phi}2$ , antisymétrique, et symétrique.

$\boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

On travaille maintenant avec $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie . On se donne une base une base de .

Définition Etant donné $\phi$ une forme bilinéaire sur , on appelle matrice de $\phi$ dans la base ${\cal B}$ la matrice définie par

$\displaystyle M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)$

On la note $Mat_B(\phi)$ .
Réciproquement, on appelle forme bilinéaire sur associée à la matrice et à la base l'application $\phi$ définie par

$\displaystyle \phi(x,y)=^tX.M.Y$

avec

le vecteur défini par

.
La forme bilinéaire canoniquement associée à une matrice

de type

est la forme bilinéaire associée à cette matrice dans $\mathbb{K}^n$ pour la base canonique.

Proposition Avec la matrice de $\phi$ dans la base , avec le vecteur défini par et le vecteur défini par , on a

$\displaystyle \phi(x,y)=^tX.M.Y$

Démonstration: Il n'y a qu'à l'écrire. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire La matrice de $^t\phi$ est la transposée de la matrice de $\phi$ .

Proposition Etant donnée une base de , l'application qui à une matrice associe la forme bilinéaire associée sur pour est un isomorphisme.

Corollaire $dim\ {\cal L}_2(E)=n^2$

Proposition Etant donnée et deux bases de , alors

$\displaystyle Mat_{B'}(\phi)=^tP_{B,B'}.Mat_B(\phi).P_{B,B'}$

Démonstration: Evident. $\sqcap$ $\sqcup$

Au vu de ce résultat, on comprend l'intérêt d'introduire la définition suivante:

Définition Deux matrices et sont dites congruentes si il existe inversible telle que .

Proposition $\bullet\$ La congruence est une relation d'équivalence
$\bullet\$ Deux matrices sont congruentes si et seulement si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes
$\bullet\$ Deux matrices congruentes ont même rang

Deux matrices congruentes n'ont pas nécéssairement même déterminant.