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Sous-sections

Formes bilinéaires

$ \boxcircle$ Le cas général

Définition On appelle forme bilinéaire sur $ E$ une forme multilinéaire de $ {\cal L}_2(E)$.
Etant donnée $ \phi$ une forme bilinéaire on note $ ^t\phi$ l'application $ (x,y)\to \phi(y,x)$.

Il est immédiat que $ \phi$ est symétrique si $ \phi=^t\phi$, et que $ \phi$ est antisymétrique si $ ^t\phi=-\phi$.

Proposition $ \bullet\ $L'application qui à $ \phi$ associe $ ^t\phi$ est un automorphisme involutif de $ {\cal L}_2(E)$.
$ \bullet\ $ $ {\cal L}_2(E)$ est somme directe des deux sous-espace vectoriel de $ {\cal L}_2(E)$ respectivement constitués des formes bilinéaires symétriques et des formes bilinéaires antisymétriques. On a en fait $ \phi=a+s$ avec $ s=\frac{^t\phi+\phi}2$, $ a=\frac{\phi-^t\phi}2$, $ a$ antisymétrique, et $ s$ symétrique.


$ \boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

On travaille maintenant avec $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$. On se donne une base $ (e_1,...e_n)$ une base de $ E$.

Définition Etant donné $ \phi$ une forme bilinéaire sur $ E$, on appelle matrice de $ \phi$ dans la base $ {\cal B}$ la matrice $ M$ définie par

$\displaystyle M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)$

On la note $ Mat_B(\phi)$.
Réciproquement, on appelle forme bilinéaire sur $ E$ associée à la matrice $ M$ et à la base $ B$ l'application $ \phi$ définie par

$\displaystyle \phi(x,y)=^tX.M.Y$

avec $ X$ le vecteur défini par $ X_i=e_i^*(x)$ et $ Y$ le vecteur défini par $ Y_i=e_i^*(y)$.
La forme bilinéaire canoniquement associée à une matrice $ M$ de type $ (n,n)$ est la forme bilinéaire associée à cette matrice dans $ \mathbb{K}^n$ pour la base canonique.

Proposition Avec $ M$ la matrice de $ \phi$ dans la base $ B$, avec $ X$ le vecteur défini par $ X_i=e_i^*(x)$ et $ Y$ le vecteur défini par $ Y_i=e_i^*(y)$, on a

$\displaystyle \phi(x,y)=^tX.M.Y$

Démonstration: Il n'y a qu'à l'écrire.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire La matrice de $ ^t\phi$ est la transposée de la matrice de $ \phi$.

Proposition Etant donnée $ B$ une base de $ E$, l'application qui à une matrice associe la forme bilinéaire associée sur $ E$ pour $ B$ est un isomorphisme.

Corollaire $ dim\ {\cal L}_2(E)=n^2$

Proposition Etant donnée $ B$ et $ B'$ deux bases de $ E$, alors

$\displaystyle Mat_{B'}(\phi)=^tP_{B,B'}.Mat_B(\phi).P_{B,B'}$

Démonstration: Evident.$ \sqcap$$ \sqcup$

Au vu de ce résultat, on comprend l'intérêt d'introduire la définition suivante:

Définition Deux matrices $ P$ et $ Q$ sont dites congruentes si il existe $ M$ inversible telle que $ P=^tMQM$.

Proposition $ \bullet\ $La congruence est une relation d'équivalence
$ \bullet\ $Deux matrices sont congruentes si et seulement si elles représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes
$ \bullet\ $Deux matrices congruentes ont même rang

Attention! Deux matrices congruentes n'ont pas nécéssairement même déterminant.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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