Définition
On appelle forme quadratique associée à la forme bilinéaire
l'application
.
Une application de dans
est une forme quadratique sur
si et seulement si c'est la forme quadratique associée à une certaine
forme bilinéaire.
Proposition
Soit une forme quadratique, alors
(voir figure )
Démonstration:Il suffit de développer la formule en considérant à laquelle
est associé .
Figure:
Formule du parallélogramme. La somme des carrés des diagonales est égale
à la somme des carrés des côtés.
Proposition
L'application qui à une forme bilinéaire associe la forme quadratique qui lui
est associée est une application linéaire de
dans l'ensemble
des fonctions de dans
. Son noyau est l'ensemble des applications bilinéaires
antisymétriques, et elle induit un isomorphisme de l'ensemble des applications
bilinéaires symétriques sur sur l'ensemble des formes quadratiques.
Démonstration:Le fait que cette application soit linéaire est évident.
Montrons que si sa forme quadratique associée est nulle, alors
est antisymétrique. Pour tout et tout ; donc si pour tout , alors
. D'où le résultat.
Définition
Etant donnée une forme quadratique sur , l'unique forme bilinéaire symétrique telle que pour tout i est appelée forme polaire de .
Proposition
Les formules suivantes permettent de déterminer la forme polaire associée à une forme quadratique:
Définition [Orthogonalité]
Etant données une forme quadratique et sa forme polaire:
et appartenant à sont orthogonaux si et seulement si
deux parties et de sont dites orthogonales si et seulement si
tout dans et tout dans sont orthogonaux.
On appelle orthogonal d'une partie de et on note l'ensemble
des éléments orthogonaux à tous les éléments de .
On appelle noyau de l'orthogonal de (à ne pas confondre avec le cône isotrope de ); on le note .
On appelle cône isotrope de et on note l'ensemble des tels que (à ne pas confondre avec le noyau de ). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.
Un sous-espace vectoriel de est dit isotrope si la restriction de à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.
Un sous-espace vectoriel de est dit totalement isotrope si la restriction de à ce sous-espace vectoriel est nulle.
Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n'est pas réduit à .
Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à .
Une forme quadratique sur un
-espace vectoriel est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout on a
(resp.
).
PropositionUn sous-espace vectoriel est isotrope si et seulement si il a une intersection non réduite à avec son orthogonal.
Un sous-espace vectoriel est totalement isotrope si et seulement si il est inclus dans son orthogonal.
L'orthogonal d'une partie de est l'orthogonal du sous-espace vectoriel engendré par cette partie.
Avec et des parties de ,
PropositionLe noyau d'une forme quadratique est un sous-espace vectoriel
La restriction d'une forme quadratique définie à un sous-espace vectoriel est définie.
Le cône isotrope d'une forme quadratique n'est pas nécéssairement un sous-espace vectoriel (il contient le sous-espace vectoriel noyau de ).
La restriction d'une forme quadratique non-dégénérée à un sous-espace vectoriel
n'est pas nécéssairement non-dégénérée.
Proposition
Le cône isotrope est un cône, c'est à dire que isotrope isotrope pour tout dans
.
Définition [Familles orthogonales et orthonormales]
Une famille de vecteurs de est dite orthogonale si implique
.
Une famille de vecteurs de un
-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si
.
Une famille de vecteurs de un
-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si
pour un certain dans .
Une famille de vecteurs de est dite orthonormale si
.
Une matrice réelle ou complexe de type est dite orthogonale si la famille de ses vecteurs colonnes forme une famille orthonormale de
.
PropositionUne famille orthogonale sans vecteur isotrope est libre. En particulier si est définie une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
Une famille orthonormale est libre.
Définition
On appelle matrice d'une forme quadratique dans une base la matrice de sa forme polaire dans la base .
On note la matrice de la forme quadratique dans la base .
On appelle rang de la rang de sa matrice dans une base quelconque (le rang est
indépendant de la base).
On appelle discriminant d'une forme quadratique dans une base le déterminant
de la matrice de dans la base .
Le discriminant dépend de la base.
Le troisième point appelle une preuve, que voici ci-dessous:
Proposition
Démonstration:Il suffit d'aller voir la démonstration équivalente pour les formes bilinéaires, en .
Deux matrices congruentes ayant même rang, la définition ci-dessus est donc cohérente.
Proposition
Etant donnés dans et le vecteur défini par
, on a
.
Démonstration:Il suffit de considérer la forme polaire de et de consulter la partie .
Proposition
Un polynôme de degré en
est une forme quadratique
sur
.
Pour obtenir sa forme polaire, on remplace chaque par ,
et chaque par
; le polynôme en et
est une forme bilinéaire symétrique sur
, et est la forme polaire du polynôme.
Proposition
Le noyau d'une forme quadratique en dimension finie est le noyau de l'endomorphisme ayant
même matrice (dans la même base).
La dimension de est la somme du rang de et de la dimension du noyau de .
Démonstration:Evident, il n'y a qu'à l'écrire.
PropositionUne base est orthogonale si et seulement si la matrice de dans cette base
est diagonale.
Une base est orthonormale si et seulement si la matrice de dans cette base
est l'identité.
Démonstration:Evident!
Le théorème suivant est très important:
Théorème
Pour toute forme quadratique sur de dimension finie, il existe une base de
orthogonale pour .
Démonstration:On montre ce résultat par récurrence:
Le cas est trivial.
Si est nulle, le résultat est clair; sinon on choisit non isotrope,
et on note l'orthogonal de . Tout vecteur s'écrit
donc
. Il suffit alors d'appliquer l'hypothèse de récurrence
sur .
Corollaire
Pour tout forme quadratique sur -espace vectoriel de dimension , il existe
et
dans
et ,..., dans tel que
les forment une famille libre
En outre, est unique et est égal au rang de .
Démonstration:Il s'agit simplement de la traduction du théorème précédent.
On en déduit les deux corollaires suivants, l'un dans le cas
, l'autre dans le
cas
:
Corollaire [Cas
]
Pour tout forme quadratique sur -espace vectoriel de dimension , il existe
et ,..., dans tel que
les forment une famille libre
En outre, est unique et est égal au rang de .
Démonstration:Il suffit de voir dans le corollaire précédent que l'on peut multiplier par une racine carrée de
.
Corollaire [Cas
]
Pour tout forme quadratique sur -espace vectoriel de dimension , il existe
et dans et ,..., dans tel que
les forment une famille libre
En outre, est unique et est égal au rang de , et est unique.
Démonstration:Il suffit de voir que l'on peut multiplier par une racine carrée
de
; il ne reste alors plus qu'à montrer l'unicité de . Pour cela,
on considère le maximal possible,
et le minimal possible; on note .
Alors
est définie positive sur un espace de dimension est définie négative sur un espace de dimension
On déduit facilement que:
ces deux espaces sont en somme directe, donc
Donc si , , et si , , donc nécéssairement,
.
Encore un corollaire dans le cadre d'une forme quadratique définie positive:
Corollaire [Cas
et définie positive]
Pour tout forme quadratique sur -espace vectoriel de dimension ,
il existe ,..., dans tel que
les forment une famille libre
On en déduit aussi l'existence d'une base orthonormale.