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Définition On appelle forme quadratique associée à la forme bilinéaire $\phi$ l'application $x \mapsto \phi(x,x)$ .
Une application de

dans $\mathbb{K}$ est une forme quadratique sur

si et seulement si c'est la forme quadratique associée à une certaine forme bilinéaire.

Démonstration: Il suffit de développer la formule en considérant $\phi$ à laquelle est associé

. $\sqcap$ $\sqcup$

**Figure:** Formule du parallélogramme. La somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés.
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =4cm \epsfbox{paral.eps} \end{displaymath}\end{figure}$

Proposition L'application qui à une forme bilinéaire

associe la forme quadratique

qui lui est associée est une application linéaire de ${\cal L}_2(E)$ dans l'ensemble des fonctions de

dans $\mathbb{K}$ . Son noyau est l'ensemble des applications bilinéaires antisymétriques, et elle induit un isomorphisme de l'ensemble des applications bilinéaires symétriques sur

sur l'ensemble des formes quadratiques.

Démonstration: $\bullet\$ Le fait que cette application soit linéaire est évident.
$\bullet\$ Montrons que si sa forme quadratique associée est nulle, alors $\phi$ est antisymétrique. Pour tout

et tout

$\phi(x+y,x+y)=\phi(x,x)+\phi(y,y)+\phi(x,y)+\phi(y,x)$ ; donc si pour tout

$\phi(z,z)=0$ , alors $\phi(x,y)+\phi(y,x)=0$ . D'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Définition Etant donnée

une forme quadratique

sur

, l'unique forme bilinéaire symétrique

$\phi$ telle que pour tout

$q(x)=\phi(x,x)$ i est appelée forme polaire de .

Proposition Les formules suivantes permettent de déterminer la forme polaire

$\phi$ associée à une forme quadratique

:
$\bullet\$ $\phi(x,y)=\frac12(q(x+y)-q(x)-q(y))$
$\bullet\$ $\phi(x,y)=\frac14(q(x+y)-q(x-y))$

Définition [Orthogonalité] Etant données

une forme quadratique

et $\phi$ sa forme polaire

:
$\bullet\$

appartenant à

sont orthogonaux si et seulement si $\phi(x,y)=0$
$\bullet\$ deux parties

sont dites orthogonales si et seulement si tout

dans

et tout

dans

sont orthogonaux.
$\bullet\$ On appelle orthogonal d'une partie

et on note $X^\bot$ l'ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de

.
$\bullet\$ On appelle noyau de

l'orthogonal de

(à ne pas confondre avec le cône isotrope de

); on le note

.
$\bullet\$ On appelle cône isotrope de et on note

l'ensemble des

tels que

(à ne pas confondre avec le noyau de

). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.
$\bullet\$ Un sous-espace vectoriel de

est dit isotrope si la restriction de

à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.
$\bullet\$ Un sous-espace vectoriel de

est dit totalement isotrope si la restriction de

à ce sous-espace vectoriel est nulle.
$\bullet\$ Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n'est pas réduit à $\{0\}$ .
$\bullet\$ Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à $\{0\}$ .
$\bullet\$ Une forme quadratique

sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel

est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout

on a $q(x,x) \geq 0$ (resp. $q(x,x) \leq 0$ ).

Proposition $\bullet\$ Un sous-espace vectoriel est isotrope

si et seulement si il a une intersection non réduite à $\{0\}$ avec son orthogonal

.
$\bullet\$ Un sous-espace vectoriel est totalement isotrope si et seulement si il est inclus dans son orthogonal.
$\bullet\$ L'orthogonal d'une partie de

est l'orthogonal du sous-espace vectoriel engendré

par cette partie.
$\bullet\$ Avec

des parties de

, $X \subset Vect(Y) \to Y^\bot\subset X^\bot$

Proposition $\bullet\$ Le noyau d'une forme quadratique

est un sous-espace vectoriel
$\bullet\$ La restriction d'une forme quadratique définie à un sous-espace vectoriel est définie.

Le cône isotrope d'une forme quadratique n'est pas nécéssairement un sous-espace vectoriel (il contient le sous-espace vectoriel noyau de

La restriction d'une forme quadratique non-dégénérée à un sous-espace vectoriel n'est pas nécéssairement non-dégénérée.

Proposition Le cône isotrope est un cône

, c'est à dire que

isotrope $\to$ ${\lambda}.x$ isotrope pour tout ${\lambda}$ dans $\mathbb{K}$ .

Définition [Familles orthogonales et orthonormales] Une famille

de vecteurs de

est dite orthogonale si $i\not=j$ implique $\phi(x_i,x_j)=0$ .
Une famille

de vecteurs de

un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si $\phi(x_i,x_i)=\chi_{1,rg(q)}(i)$ .
Une famille

de vecteurs de

un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si $\phi(x_i,x_i)=\chi_{1,p}(i)-\chi_{p+1,rg(q)}(i)$ pour un certain

dans

.
Une famille

de vecteurs de

est dite orthonormale si $\phi(x_i,x_j)=\partial _{i,j}$ .
Une matrice réelle ou complexe de type

est dite orthogonale si la famille de ses vecteurs colonnes forme une famille orthonormale de $\mathbb{K}^n$ .

Proposition $\bullet\$ Une famille orthogonale

sans vecteur isotrope

est libre

. En particulier si

est définie une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
$\bullet\$ Une famille orthonormale

est libre.

Démonstration: $\phi(\sum_i {\lambda}_i.x_i,x_i)={\lambda}_i.\phi(x_i,x_i)$ , etc... $\sqcap$ $\sqcup$

$\boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

Définition On appelle matrice d'une forme quadratique dans une base la matrice de sa forme polaire

dans la base

.
On note la matrice de la forme quadratique

dans la base

.
On appelle rang de

la rang de sa matrice dans une base quelconque (le rang est indépendant de la base).
On appelle discriminant d'une forme quadratique

dans une base

le déterminant de la matrice de

dans la base

Le discriminant dépend de la base.
Le troisième point appelle une preuve, que voici ci-dessous:

Démonstration: Il suffit d'aller voir la démonstration équivalente pour les formes bilinéaires, en

. $\sqcap$ $\sqcup$

Deux matrices congruentes

ayant même rang, la définition ci-dessus est donc cohérente.

Démonstration: Il suffit de considérer la forme polaire de

et de consulter la partie

. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Un polynôme de degré $\leq 2$ en

est une forme quadratique sur $\mathbb{K}^n$ .
Pour obtenir sa forme polaire, on remplace chaque

par

, et chaque

par $\frac12 (x_i.y_j + x_j.y_i)$ ; le polynôme en

est une forme bilinéaire symétrique sur $\mathbb{K}^n$ , et est la forme polaire du polynôme.

Proposition Le noyau d'une forme quadratique en dimension finie est le noyau de l'endomorphisme ayant même matrice (dans la même base).
La dimension de

est la somme du rang de

et de la dimension du noyau de

Proposition $\bullet\$ Une base est orthogonale

si et seulement si la matrice de

dans cette base est diagonale.
$\bullet\$ Une base est orthonormale si et seulement si la matrice de

dans cette base est l'identité.

Le théorème suivant est très important:
Théorème Pour toute forme quadratique sur

de dimension finie, il existe une base de

orthogonale pour

Démonstration: On montre ce résultat par récurrence:
$\bullet\$ Le cas

est trivial.
$\bullet\$ Si

est nulle, le résultat est clair; sinon on choisit

non isotrope, et on note

l'orthogonal de

. Tout vecteur

s'écrit

$\displaystyle x= \underbrace{\in \mathbb{K}.e_1}{\frac{\phi(e_1,x)}{q(e_1)}.e_1}+ \underbrace{\in e_1^\bot}{x-\frac{\phi(e_1,x)}{q(e_1)}.e_1}$

Corollaire Pour tout forme quadratique

sur

$\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension

, il existe $p \in [1,n]$ et ${\lambda}_1,...,{\lambda}_p$ dans $\mathbb{K}\setminus \{0\}$ et

,...,

dans

tel que
$\bullet\$ les

forment une famille libre
$\bullet\$ $q(x)=\sum_{i=1}^p {\lambda}_i.f_i(x)^2$
En outre,

est unique et est égal au rang de

Démonstration: Il s'agit simplement de la traduction du théorème précédent. $\sqcap$ $\sqcup$

On en déduit les deux corollaires suivants, l'un dans le cas $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ , l'autre dans le cas $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ :

Corollaire [Cas $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ ] Pour tout forme quadratique

sur

$\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension

, il existe $p \in [1,n]$ et

,...,

dans

tel que
$\bullet\$ les

forment une famille libre
$\bullet\$ $q(x)=\sum_{i=1}^p f_i(x)^2$
En outre,

est unique et est égal au rang de

Démonstration: Il suffit de voir dans le corollaire précédent que l'on peut multiplier

par une racine carrée de $\frac1{{\lambda}_i}$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Cas $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ] Pour tout forme quadratique

sur

$\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension

, il existe $r \in [1,n]$ et

dans

,...,

dans

tel que
$\bullet\$ les

forment une famille libre
$\bullet\$ $q(x)=\sum_{i=1}^p f_i(x)^2-\sum_{i=p+1}^r f_i(x)^2$
En outre,

est unique et est égal au rang de

, et

est unique.

Démonstration: Il suffit de voir que l'on peut multiplier

par une racine carrée de $\frac1{\vert{\lambda}_i\vert}$ ; il ne reste alors plus qu'à montrer l'unicité de

. Pour cela, on considère

maximal possible, et

minimal possible; on note

.
Alors $\bullet\$

est définie positive sur un espace de dimension

$\bullet\$

est définie négative sur un espace de dimension

On déduit facilement que:
$\bullet\$ ces deux espaces sont en somme directe, donc $s+t \leq r$
$\bullet\$ $p \leq s$
$\bullet\$ $r-p \leq t$
Donc si

, et si

, donc nécéssairement,

. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Cas $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et

définie positive] Pour tout forme quadratique

sur

$\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension

, il existe

,...,

dans

tel que
$\bullet\$ les

forment une famille libre
$\bullet\$ $q(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)^2$
On en déduit aussi l'existence d'une base orthonormale.

Formes quadratiques

$\boxcircle$ Le cas général

$\boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle