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Sous-sections

Formes quadratiques

$ \boxcircle$ Le cas général

Définition On appelle forme quadratique associée à la forme bilinéaire $ \phi$ l'application $ x \mapsto \phi(x,x)$.
Une application de $ E^2$ dans $ \mathbb{K}$ est une forme quadratique sur $ E$ si et seulement si c'est la forme quadratique associée à une certaine forme bilinéaire.

Proposition Soit $ q$ une forme quadratique, alors

$\displaystyle q(x+y)+q(x-y)=2(q(x)+q(y))$

(voir figure [*])

Démonstration: Il suffit de développer la formule en considérant $ \phi$ à laquelle est associé $ q$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Formule du parallélogramme. La somme des carrés des diagonales est égale à la somme des carrés des côtés.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =4cm
\epsfbox{paral.eps} \end{displaymath}\end{figure}

Proposition L'application qui à une forme bilinéaire associe la forme quadratique qui lui est associée est une application linéaire de $ {\cal L}_2(E)$ dans l'ensemble des fonctions de $ E$ dans $ \mathbb{K}$. Son noyau est l'ensemble des applications bilinéaires antisymétriques, et elle induit un isomorphisme de l'ensemble des applications bilinéaires symétriques sur $ E$ sur l'ensemble des formes quadratiques.

Démonstration: $ \bullet\ $Le fait que cette application soit linéaire est évident.
$ \bullet\ $Montrons que si sa forme quadratique associée est nulle, alors $ \phi$ est antisymétrique. Pour tout $ x$ et tout $ y$ $ \phi(x+y,x+y)=\phi(x,x)+\phi(y,y)+\phi(x,y)+\phi(y,x)$; donc si pour tout $ z$ $ \phi(z,z)=0$, alors $ \phi(x,y)+\phi(y,x)=0$. D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Etant donnée $ q$ une forme quadratique $ q$ sur $ E$, l'unique forme bilinéaire symétrique $ \phi$ telle que pour tout $ x$ $ q(x)=\phi(x,x)$i est appelée forme polaire de $ q$.

Proposition Les formules suivantes permettent de déterminer la forme polaire $ \phi$ associée à une forme quadratique $ q$:
$ \bullet\ $ $ \phi(x,y)=\frac12(q(x+y)-q(x)-q(y))$
$ \bullet\ $ $ \phi(x,y)=\frac14(q(x+y)-q(x-y))$

Définition [Orthogonalité] Etant données $ q$ une forme quadratique et $ \phi$ sa forme polaire:
$ \bullet\ $$ x$ et $ y$ appartenant à $ E$ sont orthogonaux si et seulement si $ \phi(x,y)=0$
$ \bullet\ $deux parties $ X$ et $ Y$ de $ E$ sont dites orthogonales si et seulement si tout $ x$ dans $ X$ et tout $ y$ dans $ Y$ sont orthogonaux.
$ \bullet\ $On appelle orthogonal d'une partie $ X$ de $ E$ et on note $ X^\bot$ l'ensemble des éléments orthogonaux à tous les éléments de $ X$.
$ \bullet\ $On appelle noyau de $ q$ l'orthogonal de $ E$ (à ne pas confondre avec le cône isotrope de $ q$); on le note $ N(q)$.
$ \bullet\ $On appelle cône isotrope de $ q$ et on note $ C(q)$ l'ensemble des $ x$ tels que $ q(x)=0$ (à ne pas confondre avec le noyau de $ q$). Un élément du cône isotrope est appelé vecteur isotrope.
$ \bullet\ $Un sous-espace vectoriel de $ E$ est dit isotrope si la restriction de $ q$ à ce sous-espace vectoriel est dégénérée.
$ \bullet\ $Un sous-espace vectoriel de $ E$ est dit totalement isotrope si la restriction de $ q$ à ce sous-espace vectoriel est nulle.
$ \bullet\ $Une forme quadratique est dite dégénérée si son noyau n'est pas réduit à $ \{0\}$.
$ \bullet\ $Une forme quadratique est dite définie si son cône isotrope est réduit à $ \{0\}$.
$ \bullet\ $Une forme quadratique $ q$ sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$ est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout $ x$ on a $ q(x,x) \geq 0$ (resp. $ q(x,x) \leq 0$).

Proposition $ \bullet\ $Un sous-espace vectoriel est isotrope si et seulement si il a une intersection non réduite à $ \{0\}$ avec son orthogonal.
$ \bullet\ $Un sous-espace vectoriel est totalement isotrope si et seulement si il est inclus dans son orthogonal.
$ \bullet\ $L'orthogonal d'une partie de $ E$ est l'orthogonal du sous-espace vectoriel engendré par cette partie.
$ \bullet\ $Avec $ X$ et $ Y$ des parties de $ E$, $ X \subset Vect(Y) \to Y^\bot\subset X^\bot$

Proposition $ \bullet\ $Le noyau d'une forme quadratique est un sous-espace vectoriel
$ \bullet\ $La restriction d'une forme quadratique définie à un sous-espace vectoriel est définie.

Attention! Le cône isotrope d'une forme quadratique n'est pas nécéssairement un sous-espace vectoriel (il contient le sous-espace vectoriel noyau de $ q$).
Attention! La restriction d'une forme quadratique non-dégénérée à un sous-espace vectoriel n'est pas nécéssairement non-dégénérée.

Proposition Le cône isotrope est un cône, c'est à dire que $ x$ isotrope $ \to$ $ {\lambda}.x$ isotrope pour tout $ {\lambda}$ dans $ \mathbb{K}$.

Définition [Familles orthogonales et orthonormales] Une famille $ (x_i)$ de vecteurs de $ E$ est dite orthogonale si $ i\not=j$ implique $ \phi(x_i,x_j)=0$.
Une famille $ (x_i)$ de vecteurs de $ E$ un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si $ \phi(x_i,x_i)=\chi_{1,rg(q)}(i)$.
Une famille $ (x_i)$ de vecteurs de $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel est dite réduite si elle est orthogonale et si $ \phi(x_i,x_i)=\chi_{1,p}(i)-\chi_{p+1,rg(q)}(i)$ pour un certain $ p$ dans $ [0,rg(q)]$.
Une famille $ (x_i)$ de vecteurs de $ E$ est dite orthonormale si $ \phi(x_i,x_j)=\partial _{i,j}$.
Une matrice réelle ou complexe de type $ (n,n)$ est dite orthogonale si la famille de ses vecteurs colonnes forme une famille orthonormale de $ \mathbb{K}^n$.

Proposition $ \bullet\ $Une famille orthogonale sans vecteur isotrope est libre. En particulier si $ q$ est définie une famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.
$ \bullet\ $Une famille orthonormale est libre.

Démonstration: $ \phi(\sum_i {\lambda}_i.x_i,x_i)={\lambda}_i.\phi(x_i,x_i)$, etc... $ \sqcap$$ \sqcup$

$ \boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

On suppose que $ B=(e_1,...,e_n)$ est une base de $ E$.

Définition On appelle matrice d'une forme quadratique dans une base $ B$ la matrice de sa forme polaire dans la base $ B$.
On note $ Mat_B(q)$ la matrice de la forme quadratique $ q$ dans la base $ B$.
On appelle rang de $ q$ la rang de sa matrice dans une base quelconque (le rang est indépendant de la base).
On appelle discriminant d'une forme quadratique $ q$ dans une base $ B$ le déterminant de la matrice de $ q$ dans la base $ B$.

Attention! Le discriminant dépend de la base.
Le troisième point appelle une preuve, que voici ci-dessous:

Proposition $ Mat_{B'}(q)=^tP_{B,B'}.Mat_B(q).P_{B,B'}$

Démonstration: Il suffit d'aller voir la démonstration équivalente pour les formes bilinéaires, en [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Deux matrices congruentes ayant même rang, la définition ci-dessus est donc cohérente.

Proposition Etant donnés $ x$ dans $ E$ et $ X$ le vecteur défini par $ X_i=e_i^*(x)$ , on a $ q(x)=^tX.Mat_B(q).X$.

Démonstration: Il suffit de considérer la forme polaire de $ q$ et de consulter la partie [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Un polynôme de degré $ \leq 2$ en $ x_1,...,x_n$ est une forme quadratique sur $ \mathbb{K}^n$.
Pour obtenir sa forme polaire, on remplace chaque $ x_i.x_i$ par $ x_i.y_i$, et chaque $ x_i.x_j$ par $ \frac12 (x_i.y_j + x_j.y_i)$; le polynôme en $ (x_i)$ et $ (y_i)$ est une forme bilinéaire symétrique sur $ \mathbb{K}^n$, et est la forme polaire du polynôme.

Proposition Le noyau d'une forme quadratique en dimension finie est le noyau de l'endomorphisme ayant même matrice (dans la même base).
La dimension de $ E$ est la somme du rang de $ q$ et de la dimension du noyau de $ q$.

Démonstration: Evident, il n'y a qu'à l'écrire.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet\ $Une base est orthogonale si et seulement si la matrice de $ q$ dans cette base est diagonale.
$ \bullet\ $Une base est orthonormale si et seulement si la matrice de $ q$ dans cette base est l'identité.

Démonstration: Evident!$ \sqcap$$ \sqcup$

Le théorème suivant est très important:
Théorème Pour toute forme quadratique sur $ E$ de dimension finie, il existe une base de $ E$ orthogonale pour $ q$.

Démonstration: On montre ce résultat par récurrence:
$ \bullet\ $Le cas $ n=1$ est trivial.
$ \bullet\ $Si $ q$ est nulle, le résultat est clair; sinon on choisit $ e_1$ non isotrope, et on note $ H$ l'orthogonal de $ e_1$. Tout vecteur $ x$ s'écrit

$\displaystyle x= \underbrace{\in \mathbb{K}.e_1}{\frac{\phi(e_1,x)}{q(e_1)}.e_1}+
\underbrace{\in e_1^\bot}{x-\frac{\phi(e_1,x)}{q(e_1)}.e_1}$

donc $ E=\mathbb{K}.e_1 \oplus H$. Il suffit alors d'appliquer l'hypothèse de récurrence sur $ H$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Pour tout forme quadratique $ q$ sur $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $ n$, il existe $ p \in [1,n]$ et $ {\lambda}_1,...,{\lambda}_p$ dans $ \mathbb{K}\setminus \{0\}$ et $ f_1$,...,$ f_p$ dans $ E^*$ tel que
$ \bullet\ $les $ f_i$ forment une famille libre
$ \bullet\ $ $ q(x)=\sum_{i=1}^p {\lambda}_i.f_i(x)^2$
En outre, $ p$ est unique et est égal au rang de $ q$.

Démonstration: Il s'agit simplement de la traduction du théorème précédent.$ \sqcap$$ \sqcup$

On en déduit les deux corollaires suivants, l'un dans le cas $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$, l'autre dans le cas $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$:

Corollaire [Cas $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$] Pour tout forme quadratique $ q$ sur $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $ n$, il existe $ p \in [1,n]$ et $ f_1$,...,$ f_p$ dans $ E^*$ tel que
$ \bullet\ $les $ f_i$ forment une famille libre
$ \bullet\ $ $ q(x)=\sum_{i=1}^p f_i(x)^2$
En outre, $ p$ est unique et est égal au rang de $ q$.

Démonstration: Il suffit de voir dans le corollaire précédent que l'on peut multiplier $ f_i$ par une racine carrée de $ \frac1{{\lambda}_i}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Cas $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$] Pour tout forme quadratique $ q$ sur $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $ n$, il existe $ r \in [1,n]$ et $ p$ dans $ [1,r]$ et $ f_1$,...,$ f_p$ dans $ E^*$ tel que
$ \bullet\ $les $ f_i$ forment une famille libre
$ \bullet\ $ $ q(x)=\sum_{i=1}^p f_i(x)^2-\sum_{i=p+1}^r f_i(x)^2$
En outre, $ r$ est unique et est égal au rang de $ q$, et $ p$ est unique.

Démonstration: Il suffit de voir que l'on peut multiplier $ f_i$ par une racine carrée de $ \frac1{\vert{\lambda}_i\vert}$; il ne reste alors plus qu'à montrer l'unicité de $ p$. Pour cela, on considère $ s$ le $ p$ maximal possible, et $ u$ le $ p$ minimal possible; on note $ t=q-u$.
Alors $ \bullet\ $$ q$ est définie positive sur un espace de dimension $ s$
$ \bullet\ $$ q$ est définie négative sur un espace de dimension $ t$
On déduit facilement que:
$ \bullet\ $ces deux espaces sont en somme directe, donc $ s+t \leq r$
$ \bullet\ $$ p \leq s$
$ \bullet\ $ $ r-p \leq t$
Donc si $ p<s$, $ p+r-p < r$, et si $ r-p <t$, $ p+r-p < r$, donc nécéssairement, $ p=s$. $ \sqcap$$ \sqcup$

Encore un corollaire dans le cadre d'une forme quadratique définie positive:

Corollaire [Cas $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $ q$ définie positive] Pour tout forme quadratique $ q$ sur $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $ n$, il existe $ f_1$,...,$ f_n$ dans $ E^*$ tel que
$ \bullet\ $les $ f_i$ forment une famille libre
$ \bullet\ $ $ q(x)=\sum_{i=1}^n f_i(x)^2$
On en déduit aussi l'existence d'une base orthonormale.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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