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Formes quadratiques réelles

Pour toute la durée de cette section, on se place dans le cadre de $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel .

$ \boxcircle$ Le cas général

On rappelle la définition suivante: Définition Une forme quadratique $ q$ sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$ est dite positive (resp. négative) lorsque pour tout $ x$ on a $ q(x,x) \geq 0$ (resp. $ q(x,x) \leq 0$).

Théorème [Inégalité de Schwartz] $ \bullet\ $Soit $ q$ une forme quadratique positive sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$, et soit $ \phi$ sa forme polaire. Alors pour tout $ x$ et tout $ y$ dans $ E$

$\displaystyle \phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)$

$ \bullet\ $Soit $ q$ une forme quadratique définie positive sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$, et soit $ \phi$ sa forme polaire. Alors pour tout $ x$ et tout $ y$ dans $ E$

$\displaystyle \phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)$

et

$\displaystyle \phi(x,y)^2=q(x).q(y) \Longrightarrow (x,y)$    est une famille liée.


Démonstration: $ \bullet\ $Il suffit de considérer le discriminant du polynôme en $ t$ $ q(x.t+y)$ (ce polynôme est toujours positif puisque la forme quadratique est positive).
$ \bullet\ $L'égalité implique que $ q(y-\frac{\phi(x,y)}{q(x)}.x)=0$.$ \sqcap$$ \sqcup$

On remarque que l'inégalité de Schwartz implique qu'une forme bilinéaire symétrique positive est continue.

Corollaire [Noyau et cône isotrope d'une forme quadratique positive] $ \bullet\ $Si $ q$ est positive alors $ N(q)=C(q)$.
$ \bullet\ $Si $ q$ est positive alors $ q$ est définie si et seulement si elle est non-dégénérée.

Proposition Une forme quadratique $ q$ sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel qui est définie est nécéssairement soit positive soit négative.

Démonstration: On suppose qu'il existe $ x$ et $ y$ avec $ q(x)>0$ et $ q(y)<0$. Alors l'application qui à $ t$ dans $ [0,1]$ associe $ q(t.x+(1-t).y)$ est continue (il suffit de développer pour le voir), donc par le théorème des valeurs intermédiaires [*] elle s'annule en un certain $ t_0$. Nécéssairement $ t.x+(1-t)y=0$ (puisque $ q$ est définie), donc $ x$ et $ y$ sont linéairement dépendants ($ t \neq 0$ et $ t \neq 1$). Donc $ q(x)$ et $ q(y)$ sont de même signe, d'où contradiction.$ \sqcap$$ \sqcup$

Une autre formulation des inégalités de Schwartz est donnée dans le corollaire ci-dessous:

Corollaire [Inégalités de Minkowski] $ \bullet\ $Soit $ q$ une forme quadratique positive sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$. Alors pour tout $ x$ et tout $ y$ dans $ E$

$\displaystyle \sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}$

$ \bullet\ $Soit $ q$ une forme quadratique définie positive sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$, alors pour tout $ x$ et tout $ y$ dans $ E$

$\displaystyle \sqrt{q(x+y)} = \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)} \Longrightarrow (x,y)$    est une famille positivement liée.


Démonstration: $ \bullet\ $Par l'inégalité de Schwartz

$\displaystyle \phi(x,y)^2 \leq q(x).q(y)$

et donc

$\displaystyle \to \frac{q(x+y)-q(x)-q(y)}2 \leq \sqrt{q(x).q(y)}$

$\displaystyle \to q(x+y) \leq q(x)+q(y)+2.\sqrt{q(x).q(y)}$

$\displaystyle \to \sqrt{q(x+y)} \leq \sqrt{q(x)}+\sqrt{q(y)}$

$ \bullet\ $Même principe.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet\ $Une forme quadratique $ q$ est positive si et seulement si $ -q$ est négative
$ \bullet\ $Une forme quadratique sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel est convexe si et seulement si elle est positive
$ \bullet\ $Une forme quadratique sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel est concave si et seulement si elle est négative

$ \boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

On suppose maintenant que l'on travaille sur $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$. $ q$ est une forme quadratique.

Proposition [Propriété fondamentale des formes quadratiques définies positives] Si $ E$ est une forme quadratique définie positive sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$ de dimension finie, alors il existe une base de $ E$ orthonormale pour $ q$.

Démonstration: Il suffit de considérer le corollaire [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Quelques propriétés sur l'orthogonalité sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie] $ \bullet\ $Pour $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$, on a $ dim\ F + dim\ F^\bot \geq n$
$ \bullet\ $Soit $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$, avec $ q_{\vert F}$ définie, alors $ E=F\oplus F^\bot$.

Démonstration: $ \bullet\ $Soit $ (f_i)_{i\in [1,f]}$ une base de $ F$, complétée en $ (f_i)_{i\in E}$ une base de $ E$.
Soit $ p$ l'application de $ E$ dans $ E$ définie par $ p(x)=\sum_{i\in[1,f]} \phi(x,f_i).f_i$. Cette application est linéaire; on peut donc écrire

$\displaystyle dim\ E = rg(p) + dim\ Ker\ p$

Or

$\displaystyle rg(p) \leq dim\ F$

et

$\displaystyle dim\ Ker\ p=dim\ F^\bot$

donc

$\displaystyle dim\ E \leq dim\ F + dim\ Ker\ p$

$ \bullet\ $ $ F \cap F^\bot = \emptyset$ car $ q$ est définie sur $ F$. L'inégalité précédente donne $ dim\ F + dim\ F^\bot \geq n$, d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Signature d'une forme quadratique sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel de dimension finie] On appelle signature d'une forme quadratique $ q$ le couple $ (s,t)$ avec $ s$ la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de $ E$ sur lequel $ q$ est définie positive et $ t$ la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de $ E$ sur lequel $ q$ est définie négative.

Le théorème suivant, très important, permet de cerner l'intérêt de la notion.

Théorème [Théorème d'inertie de Sylvester] Pour toute base $ q$-orthogonale $ e_i$, l'ensemble des $ i$ tels que $ q(e_i)>0$ a même cardinal, l'ensemble des $ i$ tels que $ q(e_i)=0$ a même cardinal, l'ensemble des $ i$ tels que $ q(e_i)>0$ a même cardinal.
Le sous-espace vectoriel engendré par l'ensemble des $ i$ tels que $ q(e_i)>0$ est un sous-espace vectoriel $ F$ de dimension maximale tel que $ q_{\vert F}$ soit définie positive.
Le sous-espace vectoriel engendré par l'ensemble des $ i$ tels que $ q(e_i)<0$ est un sous-espace vectoriel $ F$ de dimension maximale tel que $ q_{\vert F}$ soit définie négative.
L'ensemble des $ i$ tels que $ q(e_i)=0$ est égal à la dimension de $ E$ moins le rang de $ q$.

Démonstration: Il suffit de consulter la preuve du corollaire [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire $ \bullet\ $Toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale dont les termes diagonaux sont $ (1,...,1,-1,...-1,0,...0)$.
$ \bullet\ $Deux formes quadratiques ont la même signature si et seulement si on passe de l'un à l'autre en composant par un automorphisme.

Proposition Une matrice $ M$ de type $ (n,n)$ est antisymétrique si et seulement si pour tout vecteur $ X$ de $ \mathbb{K}^n$ on a $ ^tX.M.X=0$.

Démonstration: La forme polaire de la forme quadratique associée à $ M$ est $ (X,Y) \mapsto ^tX.(\frac12(M+^tM)).Y$. Elle est nulle si et seulement si $ M$ est antisymétrique (voir proposition [*]).$ \sqcap$$ \sqcup$


$ \boxcircle$ Le cas d'un espace euclidien

Pour plus d'informations sur les espaces euclidiens on consultera la partie [*]. Un espace euclidien étant réel et de dimension finie, ce qui vient d'être dit est encore valable.

On va noter $ Q(E)$ l'espace des formes quadratiques. Les notations usuelles seront utilisées:

$ \bullet\ $ $ (e_1,...,e_n)$ est une base de $ E$

$ \bullet\ $ $ q \in Q(E)$

$ \bullet\ $$ M$ la matrice (symétrique) associée à $ q$ pour la base des $ e_i$

$ \bullet\ $$ \phi$ la forme polaire de $ q$ (symétrique, de matrice $ M$ dans la base des $ e_i$)

$ \bullet\ $$ X$ désigne le vecteur colonne des coordonnées de $ x$ dans la base des $ e_i$

$ \bullet\ $$ Y$ désigne le vecteur colonne des coordonnées de $ y$ dans la base des $ e_i$

$ \diamond$ Formulaire

$\displaystyle q(x_1.e_1,x_2.e_2,...,x_n.e_n)=\sum_{(i,j)\in[1,n]^2} M_{i,j} x_i.x_j$

$\displaystyle \phi((x_1.e_1,x_2.e_2,...,x_n.e_n),(y_1.e_1,y_2.e_2,...,y_n.e_n))=\sum_{(i,j)\in [1,n]^2} M_{i,j} x_i.y_j$

$\displaystyle M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)$

$\displaystyle q(e_i)=M_{i,i}$

$\displaystyle q(x)=^tX.M.X$

$\displaystyle \phi(x,y)=^tX.M.X$

et avec $ (f_1,...,f_n)$ une autre base,

$\displaystyle Mat_{(f_i)}(\phi) = Mat_{(f_i)}(q) = ^tP_{(e_i),(f_i)}.M.P_{(e_i),(f_i)}$

$ \diamond$ Résultats divers

Théorème L'application $ F$ de $ L(E)$ dans l'ensemble des applications de $ E$ dans $ \mathbb{R}$ définie par $ F(f)=(y\mapsto <f(y)\vert y>$ induit un isomorphisme de $ S(E)$ (ensemble des endomorphismes symétriques de $ E$) sur $ Q(E)$ (ensemble des formes quadratiques sur $ E$).

Démonstration:

$ \bullet\ $$ F(f)$ appartient à $ Q(E)$ pour tout $ f$ dans $ L(E)$ se voit en considérant la forme bilinéaire $ \phi= (x,y) \mapsto \frac12 (<f(x)\vert y>+<x\vert f(y)>)$.

$ \bullet\ $ $ <f(x)\vert x>=0$ pour tout $ x$ $ \iff$ $ f$ antisymétrique (si vous n'en êtes pas convaincu, revoyez la partie [*]).

$ \bullet\ $Avec $ n$ la dimension de $ E$, on sait alors que l'image de $ F$ est de dimension $ n^2-\frac12 n.(n-1)=\frac12 n.(n+1)=dim\ Q(E)$, donc $ F$ a bien pour image $ Q(E)$; $ S(E)$ étant un supplémentaire du noyau de $ F$, $ F$ induit bien un isomorphisme de $ S(E)$ sur $ Q(E)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire $ \bullet\ $Toute forme quadratique $ q$ s'écrit $ x\mapsto <f(x)\vert x>$ pour un certain endomorphisme symétrique $ f$ (on peut d'ailleurs aussi écrire $ x\mapsto <x\vert f(x)>$, puisque $ f$ est symétrique).

$ \bullet\ $Dans la même base, $ q$, $ \phi$ et $ f$ ont même matrice.

Définition $ f$ (défini comme précédemment) est appelé endomorphisme symétrique associé à la forme quadratique $ q$.

Ceci nous permet de donner quelques résultats, conséquences immédiates de résultats connus sur les endomorphismes symétriques:

Théorème $ \bullet\ $Soit $ q$ une forme quadratique sur $ E$ euclidien; alors il existe une base orthonormale de $ E$ dans laquelle la matrice de l'endomorphisme associée à $ q$ est diagonale; c'est à dire que cette base est orthogonale pour $ q$ aussi.

$ \bullet\ $Si on a deux formes quadratiques sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel $ E$ de dimension finie dont l'une (au moins) est définie, alors il existe une base orthogonale pour les deux formes quadratiques (il suffit de considérer l'espace euclidien engendré par la forme définie (ou sa négation si elle est négative) pour conclure).

$ \bullet\ $Une forme quadratique sur $ E$ euclidien est positive si et seulement si toutes les valeurs propres de l'endomorphisme symétrique associé sont positives
$ \bullet\ $Une forme quadratique sur $ E$ euclidien est définie si et seulement si toutes les valeurs propres de l'endomorphisme symétrique associé sont non nulles et de même signe
$ \bullet\ $Une forme quadratique sur $ E$ euclidien est négative si et seulement si toutes les valeurs propres de l'endomorphisme symétrique associé sont négatives


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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