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Formes quadratiques complexes

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Sous-sections

$\boxcircle$ Le cas général
$\boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle
$\boxcircle$ Formes quadratiques sur un espace hermitien

Formes quadratiques complexes

$\boxcircle$ Le cas général

Le cadre le plus général est simplement celui d'un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel .

Définition On appelle forme quadratique hermitienne sur un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel une application de dans $\mathbb{C}$ telle qu'il existe une forme sesquilinéaire hermitienne $\phi$ telle que pour tout on ait $q(x)=\phi(x,x)$ . Cette forme sesquilinéaire hermitienne est unique (à vérifier plus bas); on l'appelle forme polaire de .

Proposition Soit une forme quadratique hermitienne. Alors:

$\displaystyle \forall x q(x)\in \mathbb{R}$

en effet $\phi(x,x)=\overline {\phi(x,x)}$ car $\phi$ est hermitienne

$\displaystyle \forall (x,y)\in E^2\ \phi(x,y)=\frac14 (\sum_{j=1}^4 \overline {i^j}.q(x+i^j.y))$

cela se montre simplement en développant chacun des 4 termes de droite

L'ensemble des formes quadratiques hermitiennes sur noté est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel .

Ce n'est pas un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel , comme on s'en convainc facilement en considérant une forme quadratique hermitienne non nulle multipliée par ...

On note au passage que le deuxième résultat de cette proposition donne l'unicité recquise dans la définition de la forme polaire ci-dessus.

$\boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

Définition Etant donnée une base de espace hermitien et une forme quadratique hermitienne sur de forme polaire $\phi$ , on définit la matrice associée à ou matrice associée à $\phi$ par $M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)$ . On note $M=Mat_{(e_i)}(\phi)$ ou $M=Mat_{(e_i)}(q)$ .

Proposition La matrice associée à une forme quadratique hermitienne est hermitienne c'est-à-dire que $M=^t\overline M$ .

Avec le vecteur colonne des coordonnées de dans une base donnée, le vecteur colonne des coordonnées de dans la même base, la matrice associée à ou $\phi$ dans la même base, on a

$\displaystyle \phi(x,y)=^t\overline X.M.Y$

$\displaystyle q(x)=^t\overline X.M.X=\sum_{i=1}^n M_{i,i}.\vert X_i\vert^2 +2.Re(\sum_{i<j} M_{i,j} \overline X_i.X_j)$

Si $(e_i)_{i\in [1,n]}$ et $(f_i)_{i\in [1,n]}$ sont deux bases de , alors $Mat_{(e_i)}(q)=^t\overline {P_{(e_i),(f_i)}}.Mat_{(f_i)}(q).P_{(e_i),(f_i)}$ .

$\boxcircle$ Formes quadratiques sur un espace hermitien

Définition On note le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel des formes quadratiques hermitienne sur espace hermitien.

On note le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel des endomorphismes hermitiens de , espace hermitien.

Etant donné $f \in H(E)$ , la forme quadratique $x\mapsto <f(x)\vert x>$ est appelée forme quadratique hermitienne associée à l'endomorphisme hermitien ; réciproquement est appelée endomorphisme hermitien associée à cette forme quadratique (voir unicité ci-dessous).

Théorème L'application de dans défini par $F(f)=( x\mapsto <f(x) \vert x> )$ est un isomorphisme.

Démonstration: $\bullet\$ Le fait que pour tout dans soit une forme quadratique est clair (considérer la forme sesquilinéaire $(x,y) \mapsto <f(x)\vert y>$ ).

$\bullet\$ Le fait que est un morphisme est facile à prouver.

$\bullet\$ La surjectivité:
Il suffit, étant donné une forme quadratique, de considérer sa matrice dans une base orthonormale quelconque, et l'endomorphisme associé à la même matrice dans la même base; l'image de cet endomorphisme par .

$\bullet\$ L'injectivité:
Supposons . L'application $(x,y) \mapsto <f(x)\vert y>$ est la forme polaire de (elle est bien sesquilinéaire et hermitienne); donc cette forme sesquilinéaire est nulle par unicité de la forme polaire. Donc $<f(x)\vert y>$ est nul pour tout et tout , d'où le résultat en spécialisant par . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Pour toute forme quadratique hermitienne il existe une base orthonormale (pour le produit scalaire hermitien ) qui est orthogonale pour cette forme quadratique.

Démonstration: Il suffit de considérer la proposition appliqué à l'endomorphisme associé à une forme quadratique. $\sqcap$ $\sqcup$

Quelques liens entre une forme quadratique et l'endomorphisme hermitien associé :
$\bullet\$ est définie si et seulement si toutes les valeurs propres de sont de même signe et non nulles
$\bullet\$ est positive si et seulement si toutes les valeurs propres de sont positives
$\bullet\$ est négative si et seulement si toutes les valeurs propres de sont négatives