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Formes quadratiques complexes

$ \boxcircle$ Le cas général

Le cadre le plus général est simplement celui d'un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel .

Définition On appelle forme quadratique hermitienne sur un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel $ E$ une application $ q$ de $ E$ dans $ \mathbb{C}$ telle qu'il existe une forme sesquilinéaire hermitienne $ \phi$ telle que pour tout $ x$ on ait $ q(x)=\phi(x,x)$. Cette forme sesquilinéaire hermitienne est unique (à vérifier plus bas); on l'appelle forme polaire de $ q$.

Proposition Soit $ q$ une forme quadratique hermitienne. Alors:

$\displaystyle \forall x q(x)\in \mathbb{R}$

en effet $ \phi(x,x)=\overline {\phi(x,x)}$ car $ \phi$ est hermitienne

$\displaystyle \forall (x,y)\in E^2\ \phi(x,y)=\frac14 (\sum_{j=1}^4 \overline {i^j}.q(x+i^j.y))$

cela se montre simplement en développant chacun des 4 termes de droite

L'ensemble des formes quadratiques hermitiennes sur $ E$ noté $ QH(E)$ est un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel .

Attention! Ce n'est pas un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel , comme on s'en convainc facilement en considérant une forme quadratique hermitienne non nulle multipliée par $ i$...

On note au passage que le deuxième résultat de cette proposition donne l'unicité recquise dans la définition de la forme polaire ci-dessus.

$ \boxcircle$ Le cas de la dimension finie - expression matricielle

Définition Etant donnée $ (e_1,...,e_n)$ une base de $ E$ espace hermitien et $ q$ une forme quadratique hermitienne sur $ E$ de forme polaire $ \phi$, on définit la matrice $ M$ associée à $ q$ ou matrice associée à $ \phi$ par $ M_{i,j}=\phi(e_i,e_j)$. On note $ M=Mat_{(e_i)}(\phi)$ ou $ M=Mat_{(e_i)}(q)$.

Proposition La matrice $ M$ associée à une forme quadratique hermitienne est hermitienne c'est-à-dire que $ M=^t\overline M$.

Avec $ X$ le vecteur colonne des coordonnées de $ x$ dans une base donnée, $ Y$ le vecteur colonne des coordonnées de $ y$ dans la même base, $ M$ la matrice associée à $ q$ ou $ \phi$ dans la même base, on a

$\displaystyle \phi(x,y)=^t\overline X.M.Y$

$\displaystyle q(x)=^t\overline X.M.X=\sum_{i=1}^n M_{i,i}.\vert X_i\vert^2 +2.Re(\sum_{i<j} M_{i,j} \overline X_i.X_j)$

Si $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ et $ (f_i)_{i\in [1,n]}$ sont deux bases de $ E$, alors $ Mat_{(e_i)}(q)=^t\overline {P_{(e_i),(f_i)}}.Mat_{(f_i)}(q).P_{(e_i),(f_i)}$.


$ \boxcircle$ Formes quadratiques sur un espace hermitien

Définition On note $ QH(E)$ le $ \mathbb{R}$-espace vectoriel des formes quadratiques hermitienne sur $ E$ espace hermitien.

On note $ H(E)$ le $ \mathbb{R}$-espace vectoriel des endomorphismes hermitiens de $ E$, espace hermitien.

Etant donné $ f \in H(E)$, la forme quadratique $ x\mapsto <f(x)\vert x>$ est appelée forme quadratique hermitienne associée à l'endomorphisme hermitien $ f$; réciproquement $ f$ est appelée endomorphisme hermitien associée à cette forme quadratique (voir unicité ci-dessous).

Théorème L'application $ F$ de $ H(E)$ dans $ QH(E)$ défini par $ F(f)=( x\mapsto <f(x) \vert x> )$ est un isomorphisme.

Démonstration: $ \bullet\ $Le fait que pour tout $ f$ dans $ H(E)$ $ F(f)$ soit une forme quadratique est clair (considérer la forme sesquilinéaire $ (x,y) \mapsto <f(x)\vert y>$).

$ \bullet\ $Le fait que $ f$ est un morphisme est facile à prouver.

$ \bullet\ $La surjectivité:
Il suffit, étant donné une forme quadratique, de considérer sa matrice dans une base orthonormale quelconque, et l'endomorphisme associé à la même matrice dans la même base; l'image de cet endomorphisme par $ f$.

$ \bullet\ $L'injectivité:
Supposons $ F(f)=0$. L'application $ (x,y) \mapsto <f(x)\vert y>$ est la forme polaire de $ F(f)$ (elle est bien sesquilinéaire et hermitienne); donc cette forme sesquilinéaire est nulle par unicité de la forme polaire. Donc $ <f(x)\vert y>$ est nul pour tout $ x$ et tout $ y$, d'où le résultat en spécialisant par $ y=f(x)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Pour toute forme quadratique hermitienne il existe une base orthonormale (pour le produit scalaire hermitien ) qui est orthogonale pour cette forme quadratique.

Démonstration: Il suffit de considérer la proposition [*] appliqué à l'endomorphisme associé à une forme quadratique.$ \sqcap$$ \sqcup$

Quelques liens entre une forme quadratique $ q$ et l'endomorphisme hermitien associé $ f$:
$ \bullet\ $$ q$ est définie si et seulement si toutes les valeurs propres de $ f$ sont de même signe et non nulles
$ \bullet\ $$ q$ est positive si et seulement si toutes les valeurs propres de $ f$ sont positives
$ \bullet\ $$ q$ est négative si et seulement si toutes les valeurs propres de $ f$ sont négatives


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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