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Déterminant de Vandermonde

Définition On appelle déterminant de Vandermonde associé à un $ n$-uple $ (x_1,...,x_n)$ le déterminant

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{cccccc}
x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & x_1^3 & ...
...s \\
x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & x_n^3 & \dots & x_n^n \\
\end{array}\right\vert
$


Proposition [Déterminant de Vandermonde] Le déterminant de Vandermonde associé à $ (x_1,...,x_n)$ est

$\displaystyle \Pi_{i<j} x_j-x_i$


Démonstration:

On note $ W_n$ le déterminant

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{cccccc}
x_1^0 & x_1^1 & x_1^2 & x_1^3 & ...
...s \\
x_n^0 & x_n^1 & x_n^2 & x_n^3 & \dots & x_n^n \\
\end{array}\right\vert
$

On note $ P_n$ le polynôme $ \Pi_{i \in [1,n-1]} (X-x_i)$. On a

$\displaystyle P=X^{n-1}+\sum_{k=1}^{n-1}p_k.X^{k-1}$

On ajoute alors à la dernière colonne la somme des $ p_k.c_k$ pour $ k\in[1,n-1]$ avec $ c_k$ la colonne $ k$. Sur la dernière colonne, on a maintenant seulement des 0, sauf pour la dernière ligne où l'on a $ P(x_n)$.

Par récurrence, on en déduit le résultat annoncé.$ \sqcap$$ \sqcup$



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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