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Déterminant circulant droit

Définition On appelle matrice circulante associé au $ n$-uple $ (x_1,...,x_n)$ la matrice $ M$ définie par $ M_{i,j}=x_{j-i \mbox{ (modulo $n$) }}$, c'est à dire

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}
x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\
x_n ...
...ots & \ddots & \vdots \\
x_2 & x_3 & x_4 & \dots & x_1 \\
\end{array}\right)
$


On trouvera la définition d'une matrice circulante droite en [*].

Proposition $ C_n=\Pi_{i=1..n} P(y_i)$ avec $ P(X)=\sum_{i=0}^{n-1} x_i.X^{i-1}$ et $ y_i= e^{\frac{2.i.\Pi}n}$.

Démonstration: On note $ Y_i$ le vecteur $ (y_i^0,...,y_i^{n-1})$.
On constate que $ M.Y_i=P(y_i).Y_i$.
On note $ Y$ la matrice dont les vecteurs colonnes sont $ Y_0,...,Y_{n-1}$.
On a alors $ M.Y=M.diag(P(y_0),...,P(y_{n-1}))$.
Donc comme le déterminant de $ M$ est non nul (voir [*]), le déterminant de $ Y$ est $ \Pi_{i=1..n} P(y_i)$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Quand même, il fallait y penser, à multiplier par la transposée de la matrice de Vandermonde associée aux racines $ n$-ièmes de l'unité...

On définit de même les matrices circulantes gauche, dont on calcule le déterminant en utilisant une permutation bien choisie sur les lignes...



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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