Définition [Application multilinéaire]
Soient , ... , et des
-espace vectoriel , alors
est -linéaire si pour tout dans et tout l'application
est linéaire.
Si
ont dit que est une application -linéaire sur .
Si est le corps
, alors est dite forme -linéaire.
On note l'ensemble des applications -linéaires de dans .
On note l'ensemble des formes -linéaires sur , c'est à dire
.
Etant donné
et
on note l'application -linéaire
.
Une application -linéaire est dite symétrique si pour tout .
Une application -linéaire est dite antisymétrique si pour tout .
Une application -linéaire est dite alternée si et implique
.
On note l'ensemble des applications -linéaires symétriques de dans et l'ensemble des applications -linéaires alternées de dans .
On note l'ensemble des formes -linéaires symétriques sur et l'ensemble des formes -linéaires alternées sur .
Une application -linéaire n'est pas une application linéaire.
Proposition]
est un
-espace vectoriel , sous-espace vectoriel de .
est symétrique si et seulement si pour toute transposition .
est antisymétrique si et seulement si pour toute transposition .
Démonstration:Premier point évident, les deux points suivants demandent juste de se rappeler que les
transpositions engendrent . On pourrait en fait utiliser d'autres familles génératrices.
Proposition
Une application -linéaire alternée est antisymétrique; si
n'est pas
de caractéristique, la réciproque est vraie aussi.
Démonstration:Supposons -linéaire, et , avec .
(car est alternée)
(car est -linéaire)
or
puisque est alternée
donc
.
Par la proposition , le résultat alterné antisymétrique
est donc prouvé. La réciproque est évidente, en utilisant la même
caractérisation de l'antisymétrie par la proposition .
On suppose désormais que
est un corps de caractéristique .
Théorème
Soit une forme -linéaire antisymétrique sur -espace vectoriel de dimension ,
une base de ,
sa base duale et
une famille de éléments de .
Alors:
et
Démonstration:On procède en quatre étapes:
On remplace par
dans
.
On développe en utilisant la linéarité suivant chaque composante, on obtient donc
On supprime tous les termes tels que le cardinal de
soit différent de , ce qui permet d'introduire les permutations.
Il ne reste plus qu'à remplacer
par
.
La deuxième formule s'obtient simplement en remplaçant par
.
Définition [Symétrisé et antisymétrisé d'une forme -linéaire]
Soit une forme -linéaire sur un
-espace vectoriel .
Alors l'application égale à
est appelée symétrisée de ; elle est symétrique.
Alors l'application égale à
est appelée antisymétrisée de ; elle est alternée.
L'application
est appelée opérateur de symétrisation.
L'application
est appelée opérateur d'antisymétrisation.
Définition [Produit tensoriel, produit symétrique, produit extérieur]
Soient
des formes linéaires sur le
-espace vectoriel .
On appelle produit tensoriel de
l'application qui à
associe
. On le note
.
L'aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique
de
; on la note
.
L'application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de
; on le note
.
Une application -linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans .
Une application -linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans .
Une application -linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans .
PropositionLe produit symétrique de formes linéaires est symétrique.
Le produit extérieur de formes linéaires est antisymétriques.
L'application qui à formes linéaires associe leur produit tensoriel est -linéaire de dans .
L'application qui à formes linéaires associe leur produit symétrique est -linéaire symétrique.
L'application qui à formes linéaires associe leur produit extérieur est -linéaire alternée.
Quelques théorèmes donnés sans démonstration:
Théorème
Soit un
-espace vectoriel de dimension finie ,
une base de ,
sa base duale. On note l'ensemble des applications de dans . Pour tout dans on note
.
Alors la famille des pour
est une base de .
Définition
La base donnée par le théorème précédent est appelée base associée à
.
Corollaire
La dimension de est
.
Théorème
Soit un
-espace vectoriel de dimension finie ,
une base de ,
sa base duale. est supposé de caractéristique nulle.
On note l'ensemble des applications de dans telles que
. Alors on note
.
Alors la famille des pour forme une base de .
Corollaire
La dimension de est égale à
.
Théorème
Soit un
-espace vectoriel de dimension finie ,
une base de ,
sa base duale. est supposé de caractéristique nulle.
On note l'ensemble des applications strictement croissantes de dans . Alors on note
.
Alors la famille des pour forme une base de .
Corollaire
Si est un
-espace vectoriel de dimension finie et si
est de caractéristique nulle, alors
.