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Généralités

Définition [Application multilinéaire] Soient $ E_1$, ... , $ E_n$ et $ F$ des $ \mathbb{K}$-espace vectoriel , alors $ f:\Pi_{i \in [1,n]} E_i \to F$ est $ n$-linéaire si pour tout $ (x_i)$ dans $ \Pi E_i$ et tout $ j$ l'application $ x \to f(x_1,...,x_{j-1},x,x_{j+1},...,x_n)$ est linéaire.
Si $ E_1=E_2=...E_n$ ont dit que $ f$ est une application $ n$-linéaire sur $ E$.
Si $ F$ est le corps $ \mathbb{K}$, alors $ f$ est dite forme $ n$-linéaire.
On note $ L_n(E,F)$ l'ensemble des applications $ n$-linéaires de $ E$ dans $ F$.
On note $ L_n(E)$ l'ensemble des formes $ n$-linéaires sur $ E$, c'est à dire $ L_n(E,\mathbb{K})$.
Etant donné $ f\in L_n(E,F)$ et $ \sigma \in \sigma _n$ on note $ f_\sigma $ l'application $ n$-linéaire $ (x_1,...,x_n) \mapsto f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},...,x_{\sigma (n)})$.
Une application $ n$-linéaire est dite symétrique si pour tout $ \sigma $ $ f_\sigma =f$.
Une application $ n$-linéaire est dite antisymétrique si pour tout $ \sigma $ $ f_\sigma =\epsilon (s).f$.
Une application $ n$-linéaire est dite alternée si $ i\neq j$ et $ x_i=x_j$ implique $ f(x_1,...,x_n)=0$.

On note $ S_n(E,F)$ l'ensemble des applications $ n$-linéaires symétriques de $ E$ dans $ F$ et $ A_n(E,F)$ l'ensemble des applications $ n$-linéaires alternées de $ E$ dans $ F$.

On note $ S_n(E)$ l'ensemble des formes $ n$-linéaires symétriques sur $ E$ et $ A_n(E)$ l'ensemble des formes $ n$-linéaires alternées sur $ E$.

Attention! Une application $ p$-linéaire n'est pas une application linéaire.

Proposition ] $ \bullet\ $$ L_p(E,F)$ est un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel , sous-espace vectoriel de $ F^{E^p}$.
$ \bullet\ $$ f$ est symétrique si et seulement si pour toute transposition $ \tau $ $ f_\tau =f$.
$ \bullet\ $$ f$ est antisymétrique si et seulement si pour toute transposition $ \tau $ $ f_\tau =-f$.

Démonstration: Premier point évident, les deux points suivants demandent juste de se rappeler que les transpositions engendrent $ \sigma _n$. On pourrait en fait utiliser d'autres familles génératrices.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Une application $ n$-linéaire alternée est antisymétrique; si $ \mathbb{K}$ n'est pas de caractéristique $ 2$, la réciproque est vraie aussi.

Démonstration: Supposons $ f$ $ n$-linéaire, et $ x_i=x_j$, avec $ i\neq j$.

$\displaystyle 0=f(x_1,...,x_i+x_j,...,x_j+x_i,...,x_n)$

(car $ f$ est alternée)

$\displaystyle 0=f(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n)$

$\displaystyle + f(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n)$

$\displaystyle + f(x_1,...,x_j,...,x_j,...,x_n)$

$\displaystyle + f(x_1,...,x_j,...,x_i,...,x_n)$

(car $ f$ est $ n$-linéaire) or $ f(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n)=f(x_1,...,x_j,...,x_j,...,x_n)=0$ puisque $ f$ est alternée
donc $ f(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n)=-f(x_1,...,x_j,...,x_i,...,x_n)$.

Par la proposition [*], le résultat alterné $ \to$ antisymétrique est donc prouvé. La réciproque est évidente, en utilisant la même caractérisation de l'antisymétrie par la proposition [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

On suppose désormais que $ \mathbb{K}$ est un corps de caractéristique $ \neq 2$.

Théorème Soit $ \phi$ une forme $ n$-linéaire antisymétrique sur $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $ n$, $ e_1,...,e_n$ une base de $ E$, $ e_1^*,...,e_n^*$ sa base duale et $ x_1,...,x_n$ une famille de $ n$ éléments de $ E$.
Alors:

$\displaystyle \phi(x_1,...,x_n)=(\sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (s).\Pi_{i=1}^n e_{\sigma (i)}^*(v_i)).\phi(e_1,...,e_n)$

et

$\displaystyle \phi(x_1,...,x_n)=(\sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (s).\Pi_{i=1}^n e_i^*(v_{\sigma (i)})).\phi(e_1,...,e_n)$


Démonstration: On procède en quatre étapes:
$ \bullet\ $On remplace $ x_j$ par $ \sum_i e_i^*(x_j).e_i$ dans $ \phi(x_1,...,x_n)$.
$ \bullet\ $On développe en utilisant la linéarité suivant chaque composante, on obtient donc

$\displaystyle \sum_{(i_1,...,i_n) \in [1,n]^n} e_{i_1}^*(x_1).e_{i_2}^*(x_2).....e_{i_n}^*(x_n).\phi(e_{i_1},...,e_{i_n})$

$ \bullet\ $On supprime tous les termes tels que le cardinal de $ \{i_1,...,i_n\}$ soit différent de $ n$, ce qui permet d'introduire les permutations.
$ \bullet\ $Il ne reste plus qu'à remplacer $ \phi(e_{i_1},...,e_{i_n})$ par $ \epsilon (\sigma ).\phi(e_1,...,e_n)$.
La deuxième formule s'obtient simplement en remplaçant $ \sigma $ par $ \sigma ^{-1}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition [Symétrisé et antisymétrisé d'une forme $ n$-linéaire]

Soit $ f$ une forme $ n$-linéaire sur un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$.

Alors l'application $ S(f)$ égale à $ (x_1,...,x_n) \mapsto \sum_{\sigma \in \sigma _n} f_{\sigma }(x_1,...,x_n)$ est appelée symétrisée de $ f$; elle est symétrique.

Alors l'application $ A(f)$ égale à $ (x_1,...,x_n) \mapsto \sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (\sigma ).f_{\sigma }(x_1,...,x_n)$ est appelée antisymétrisée de $ f$; elle est alternée.

L'application $ f \mapsto S(f)$ est appelée opérateur de symétrisation.

L'application $ f \mapsto A(f)$ est appelée opérateur d'antisymétrisation.

Définition [Produit tensoriel, produit symétrique, produit extérieur]

Soient $ f_1,...,f_n$ des formes linéaires sur le $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$.

On appelle produit tensoriel de $ (f_1,...,f_n)$ l'application qui à $ (x_1,...,x_n)$ associe $ f_1(x_1)\times f_2(x_2)... \times f_n(x_n)$. On le note $ f_1 \otimes f_2 \otimes ... \otimes f_n$.

L'aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique de $ (f_1,...,f_n)$; on la note $ f_1.f_2.\dots.f_n$.

L'application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de $ (f_1,...,f_n)$; on le note $ f_1 \land f_2 \land ... \land f_n$.

Une application $ n$-linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans $ L_n(E)$.

Une application $ n$-linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans $ S_n(E)$.

Une application $ n$-linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans $ A_n(E)$.

Proposition $ \bullet\ $Le produit symétrique de $ n$ formes linéaires est symétrique.

$ \bullet\ $Le produit extérieur de $ n$ formes linéaires est antisymétriques.

$ \bullet\ $L'application qui à $ n$ formes linéaires associe leur produit tensoriel est $ n$-linéaire de $ {E^*}^n$ dans $ L_n(E)$.

$ \bullet\ $L'application qui à $ n$ formes linéaires associe leur produit symétrique est $ n$-linéaire symétrique.

$ \bullet\ $L'application qui à $ n$ formes linéaires associe leur produit extérieur est $ n$-linéaire alternée.

Quelques théorèmes donnés sans démonstration:

Théorème Soit $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$, $ (e_1,...,e_n)$ une base de $ E$, $ (e_1^*,...,e_n^*)$ sa base duale. On note $ {\cal F}$ l'ensemble des applications de $ [1,p]$ dans $ [1,n]$. Pour tout $ f$ dans $ {\cal F}$ on note $ e_f=e_{f(1)}^* \otimes e_{f(2)}^* \otimes \dots \otimes e_{f(p)}^*$. Alors la famille des $ e_f$ pour $ f \in {\cal F}$ est une base de $ L_p(E)$.

Définition La base donnée par le théorème précédent est appelée base associée à $ (e_1,...,e_n)$.

Corollaire La dimension de $ L_p(E)$ est $ (dim\ E)^n$.

Théorème Soit $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$, $ (e_1,...,e_n)$ une base de $ E$, $ (e_1^*,...,e_n^*)$ sa base duale. $ \mathbb{K}$ est supposé de caractéristique nulle.

On note $ A$ l'ensemble des applications $ f$ de $ [1,n]$ dans $ [0,p]$ telles que $ \sum_{i=1}^n f(i)=p$. Alors on note $ e_f=e_1^{f(1)}.e_2^{f(2)}. \dots . e_n^{f(n)}$.

Alors la famille des $ e_f$ pour $ f\in A$ forme une base de $ S_p(E)$.

Corollaire La dimension de $ S_p(E)$ est égale à $ C_{dim\ E+p-1}^p$.

Théorème Soit $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$, $ (e_1,...,e_n)$ une base de $ E$, $ (e_1^*,...,e_n^*)$ sa base duale. $ \mathbb{K}$ est supposé de caractéristique nulle.

On note $ A$ l'ensemble des applications $ f$ strictement croissantes de $ [1,p]$ dans $ [1,n]$. Alors on note $ e_f=e_{f(1)}.e_{f(2)}. \dots . e_{f(n)}$.

Alors la famille des $ e_f$ pour $ f\in A$ forme une base de $ S_p(E)$.

Corollaire Si $ E$ est un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$ et si $ \mathbb{K}$ est de caractéristique nulle, alors $ dim\ A_p(E)=C_n^p$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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