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E. Cartan

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Théorème de Cantor-Bernstein

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Généralités

Définition [Application multilinéaire] Soient , ... , et des $\mathbb{K}$ -espace vectoriel , alors $f:\Pi_{i \in [1,n]} E_i \to F$ est -linéaire si pour tout dans $\Pi E_i$ et tout l'application $x \to f(x_1,...,x_{j-1},x,x_{j+1},...,x_n)$ est linéaire.
Si ont dit que est une application -linéaire sur .
Si est le corps $\mathbb{K}$ , alors est dite forme -linéaire.
On note l'ensemble des applications -linéaires de dans .
On note l'ensemble des formes -linéaires sur , c'est à dire $L_n(E,\mathbb{K})$ .
Etant donné $f\in L_n(E,F)$ et $\sigma \in \sigma _n$ on note $f_\sigma$ l'application -linéaire $(x_1,...,x_n) \mapsto f(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},...,x_{\sigma (n)})$ .
Une application -linéaire est dite symétrique si pour tout $\sigma$ $f_\sigma =f$ .
Une application -linéaire est dite antisymétrique si pour tout $\sigma$ $f_\sigma =\epsilon (s).f$ .
Une application -linéaire est dite alternée si $i\neq j$ et implique .

On note l'ensemble des applications -linéaires symétriques de dans et l'ensemble des applications -linéaires alternées de dans .

On note l'ensemble des formes -linéaires symétriques sur et l'ensemble des formes -linéaires alternées sur .

Une application -linéaire n'est pas une application linéaire.

Proposition ] $\bullet\$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel , sous-espace vectoriel de $F^{E^p}$ .
$\bullet\$ est symétrique si et seulement si pour toute transposition $\tau$ $f_\tau =f$ .
$\bullet\$ est antisymétrique si et seulement si pour toute transposition $\tau$ $f_\tau =-f$ .

Démonstration: Premier point évident, les deux points suivants demandent juste de se rappeler que les transpositions engendrent $\sigma _n$ . On pourrait en fait utiliser d'autres familles génératrices. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Une application -linéaire alternée est antisymétrique; si $\mathbb{K}$ n'est pas de caractéristique , la réciproque est vraie aussi.

Démonstration: Supposons -linéaire, et , avec $i\neq j$ .

$\displaystyle 0=f(x_1,...,x_i+x_j,...,x_j+x_i,...,x_n)$

(car

est alternée)

$\displaystyle 0=f(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n)$

$\displaystyle + f(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n)$

$\displaystyle + f(x_1,...,x_j,...,x_j,...,x_n)$

$\displaystyle + f(x_1,...,x_j,...,x_i,...,x_n)$

(car

est

-linéaire) or

puisque

est alternée
donc

Par la proposition , le résultat alterné $\to$ antisymétrique est donc prouvé. La réciproque est évidente, en utilisant la même caractérisation de l'antisymétrie par la proposition . $\sqcap$ $\sqcup$

On suppose désormais que $\mathbb{K}$ est un corps de caractéristique $\neq 2$ .

Théorème Soit $\phi$ une forme -linéaire antisymétrique sur $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension , une base de , sa base duale et une famille de éléments de .
Alors:

$\displaystyle \phi(x_1,...,x_n)=(\sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (s).\Pi_{i=1}^n e_{\sigma (i)}^*(v_i)).\phi(e_1,...,e_n)$

$\displaystyle \phi(x_1,...,x_n)=(\sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (s).\Pi_{i=1}^n e_i^*(v_{\sigma (i)})).\phi(e_1,...,e_n)$

Démonstration: On procède en quatre étapes:
$\bullet\$ On remplace par $\sum_i e_i^*(x_j).e_i$ dans $\phi(x_1,...,x_n)$ .
$\bullet\$ On développe en utilisant la linéarité suivant chaque composante, on obtient donc

$\displaystyle \sum_{(i_1,...,i_n) \in [1,n]^n} e_{i_1}^*(x_1).e_{i_2}^*(x_2).....e_{i_n}^*(x_n).\phi(e_{i_1},...,e_{i_n})$

$\bullet\$ On supprime tous les termes tels que le cardinal de $\{i_1,...,i_n\}$ soit différent de

, ce qui permet d'introduire les permutations.
$\bullet\$ Il ne reste plus qu'à remplacer $\phi(e_{i_1},...,e_{i_n})$ par $\epsilon (\sigma ).\phi(e_1,...,e_n)$ .
La deuxième formule s'obtient simplement en remplaçant $\sigma$ par $\sigma ^{-1}$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Définition [Symétrisé et antisymétrisé d'une forme -linéaire]

Soit une forme -linéaire sur un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel .

Alors l'application égale à $(x_1,...,x_n) \mapsto \sum_{\sigma \in \sigma _n} f_{\sigma }(x_1,...,x_n)$ est appelée symétrisée de ; elle est symétrique.

Alors l'application égale à $(x_1,...,x_n) \mapsto \sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (\sigma ).f_{\sigma }(x_1,...,x_n)$ est appelée antisymétrisée de ; elle est alternée.

L'application $f \mapsto S(f)$ est appelée opérateur de symétrisation.

L'application $f \mapsto A(f)$ est appelée opérateur d'antisymétrisation.

Définition [Produit tensoriel, produit symétrique, produit extérieur]

Soient des formes linéaires sur le $\mathbb{K}$ -espace vectoriel .

On appelle produit tensoriel de l'application qui à associe $f_1(x_1)\times f_2(x_2)... \times f_n(x_n)$ . On le note $f_1 \otimes f_2 \otimes ... \otimes f_n$ .

L'aplication symétrisée du produit tensoriel est appelée produit symétrique de ; on la note $f_1.f_2.\dots.f_n$ .

L'application antisymétrisée du produit tensoriel est appelée produit extérieur de ; on le note $f_1 \land f_2 \land ... \land f_n$ .

Une application -linéaire exprimable comme produit tensoriel est dite décomposable dans .

Une application -linéaire exprimable comme produit symétrique est dite décomposable dans .

Une application -linéaire exprimable comme produit extérieur est dite décomposable dans .

Proposition $\bullet\$ Le produit symétrique de formes linéaires est symétrique.

$\bullet\$ Le produit extérieur de formes linéaires est antisymétriques.

$\bullet\$ L'application qui à formes linéaires associe leur produit tensoriel est -linéaire de ${E^*}^n$ dans .

$\bullet\$ L'application qui à formes linéaires associe leur produit symétrique est -linéaire symétrique.

$\bullet\$ L'application qui à formes linéaires associe leur produit extérieur est -linéaire alternée.

Quelques théorèmes donnés sans démonstration:

Théorème Soit un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie , une base de , sa base duale. On note ${\cal F}$ l'ensemble des applications de dans . Pour tout dans ${\cal F}$ on note $e_f=e_{f(1)}^* \otimes e_{f(2)}^* \otimes \dots \otimes e_{f(p)}^*$ . Alors la famille des pour $f \in {\cal F}$ est une base de .

Définition La base donnée par le théorème précédent est appelée base associée à .

Corollaire La dimension de est $(dim\ E)^n$ .

Théorème Soit un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie , une base de , sa base duale. $\mathbb{K}$ est supposé de caractéristique nulle.

On note l'ensemble des applications de dans telles que $\sum_{i=1}^n f(i)=p$ . Alors on note $e_f=e_1^{f(1)}.e_2^{f(2)}. \dots . e_n^{f(n)}$ .

Alors la famille des pour $f\in A$ forme une base de .

Corollaire La dimension de est égale à $C_{dim\ E+p-1}^p$ .

Théorème Soit un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie , une base de , sa base duale. $\mathbb{K}$ est supposé de caractéristique nulle.

On note l'ensemble des applications strictement croissantes de dans . Alors on note $e_f=e_{f(1)}.e_{f(2)}. \dots . e_{f(n)}$ .

Alors la famille des pour $f\in A$ forme une base de .

Corollaire Si est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et si $\mathbb{K}$ est de caractéristique nulle, alors $dim\ A_p(E)=C_n^p$ .