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Algèbre multilinéaire et topologie

Définition Etant donnés $ E_1$, ... , $ E_n$ et $ F$ des espaces vectoriels normés , on note $ {\cal L}(E_1,...,E_n;F)$ l'espace des applications $ n$-linéaires continues de $ E_1 \times ... \times E_n$ dans $ F$. On le norme par $ f \mapsto sup_{\forall i {\parallel}x_i {\parallel}\leq 1} {\parallel}f(x_i)$; on obtient ainsi un espace vectoriel normé .

Théorème [Quelques théorèmes (pas durs!) sans preuve]

$ \bullet\ $Soient $ E_1$, ... , $ E_n$ et $ F$ des espaces vectoriels normés , et soit $ f$ application $ n$-linéaire de $ E_1,...,E_n$ dans $ F$. Alors :
- $ f$ est continue si et seulement si $ f$ est continue en 0
- $ f$ est bornée sur le produit des boules unités des $ E_i$

$ \bullet\ $Si $ F$ est un espace de Banach, alors $ {\cal L}(E_1,...,E_n;F)$ est un espace de Banach.

$ \bullet\ $Etant donnée $ f$ application $ n$-linéaire continue de $ E_1 \times ... \times E_n$ dans $ F$ la différentielle de $ f$ en $ (x_1,x_2,...,x_n)$ est $ (h_1,...,h_n) \mapsto f(h_1,x_2,...,x_n)+f(x_1,h_2,x_3,...,x_n)+...+f(x_1,x_2,...,x_{n-1},h_n)$.

$ \bullet\ $ $ {\cal L}(E_1,E_2;F) \simeq {\cal L}(E_1;{\cal L}(E_2;F))$.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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