Algèbre multilinéaire et topologie

Définition Etant donnés , ... , et des espaces vectoriels normés , on note ${\cal L}(E_1,...,E_n;F)$ l'espace des applications -linéaires continues de $E_1 \times ... \times E_n$ dans . On le norme par $f \mapsto sup_{\forall i {\parallel}x_i {\parallel}\leq 1} {\parallel}f(x_i)$ ; on obtient ainsi un espace vectoriel normé .

Théorème [Quelques théorèmes (pas durs!) sans preuve]

$\bullet\$ Soient , ... , et des espaces vectoriels normés , et soit application -linéaire de dans . Alors :
- est continue si et seulement si est continue en 0
- est bornée sur le produit des boules unités des

$\bullet\$ Si est un espace de Banach, alors ${\cal L}(E_1,...,E_n;F)$ est un espace de Banach.

$\bullet\$ Etant donnée application -linéaire continue de $E_1 \times ... \times E_n$ dans la différentielle de en est $(h_1,...,h_n) \mapsto f(h_1,x_2,...,x_n)+f(x_1,h_2,x_3,...,x_n)+...+f(x_1,x_2,...,x_{n-1},h_n)$ .