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Déterminant d'une famille de vecteurs

On suppose $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$.

Définition On appelle déterminant d'une famille $ (x_1,...,x_n)$ d'éléments de $ E$ dans une base $ (e_1,...,e_n)$ de $ E$ la somme:

$\displaystyle \sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (\sigma ) \Pi_{i=1}^n e_{\sigma (i)}^*(x_i)$

On le note $ det_{(e_1,...,e_n)}(x_1,...,x_n)$.

Proposition Si $ f$ est $ n$-linéaire sur $ E$, alors $ \sum_{\sigma \in \sigma _n} \epsilon (\sigma ).f_\sigma $ est $ n$-linéaire et antisymétrique.

Démonstration: La somme est trivialement $ n$-linéaire, et l'antisymétrie se montre facilement (on rappelle juste que la signature du produit de deux permutations est le produit des signatures de ces deux permutations).$ \sqcap$$ \sqcup$

On suppose pour la suite que $ \mathbb{K}$ n'est pas de caractéristique $ 2$.

Théorème $ \bullet\ $Etant donnée une base $ B$ de $ E$, il existe une et une seule forme $ n$-linéaire alternée égale à $ 1$ sur $ B$; c'est $ det_B(.)$.
$ \bullet\ $Les formes $ n$-linéaires alternées sur $ E$ sont égales à multiplication par un scalaire près.

Démonstration: $ \bullet\ $Il est clair que $ det_B(B)=1$
$ \bullet\ $La proposition précédente nous assure que $ det_B(.)$ est $ n$-linéaire alternée.
$ \bullet\ $Le théorème [*] nous assure le deuxième point.$ \sqcap$$ \sqcup$

En conclusion, on a les propriétés élémentaires suivantes du déterminant dans une base $ B$:
Proposition $ \bullet\ $Le déterminant est $ n$-linéaire alterné.
$ \bullet\ $On ne change pas le déterminant des $ x_i$ en ajoutant à un des $ x_i$ une combinaison linéaire des autres $ x_j$.
$ \bullet\ $Le déterminant de $ (x_1,...,x_n)$ est égal à $ \epsilon (\sigma )$ fois le déterminant de $ (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})$.
$ \bullet\ $ $ det_B=det_B(B').det_{B'}$
$ \bullet\ $ $ det_B(B').det_{B'}(B)=1$
$ \bullet\ $La famille des $ x_i$ est une base si et seulement si $ det_B(x_1,...,x_n) \neq 0$

Démonstration: (simplement du dernier point, les autres se montrant facilement l'un après l'autre)
Si c'est une base, alors on applique la formule juste au dessus pour conclure que le déterminant est non nul.
Si le déterminant est non nul, alors supposons la famille liée, on peut ajouter à un vecteur une combinaison linéaire des autres et on a ainsi une famille dont un vecteur est nul, et donc le déterminant devrait être nul.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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