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Déterminant d'un endomorphisme

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Déterminant d'un endomorphisme

est toujours un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie sur un corps $\mathbb{K}$ de caractéristique différente de deux.

Définition On appelle déterminant de l'endomorphisme le déterminant de dans la base ; on le note $det\ f$ .
On appelle groupe spécial linéaire de l'ensemble des endomorphismes de de déterminant ; on le note .

Démonstration: Il convient pour que la définition ait un sens de démontrer que ce déterminant ne dépend pas de la base . On suppose donc données deux bases et , et on montre que $det_B(f(B))=det_{B'}(f(B'))$ .
$\bullet\$ La fonction qui à un -uple $x \in E^n$ associe est -linéaire alternée, donc c'est ${\lambda}.det_B$ .
$\bullet\$ En spécialisant en cette égalité, on obtient

$\displaystyle det_B(f(x))=det_B(f(B)).det_B(x)$

$\bullet\$ Or par les propriétés du déterminant on a

$\displaystyle det_B(x)=det_B(B').det_{B'}(x)$

$\displaystyle det_B(f(x))=det_B(B').det_{B'}(f(x))$

$\bullet\$ Des deux points précédents on déduit

$\displaystyle det_B(B').det_{B'}(f(x))=det_B(f(B)).det_B(B').det_{B'}(x)$

c'est-à-dire $det_{B'}(f(x))=det_B(f(B)).det_{B'}(x)$ , et donc

en spécialisant en

. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition $\bullet\$ $det\ f \circ g =det\ f . det\ g$
$\bullet\$ est un automorphisme si et seulement si $det\ f \neq 0$
$\bullet\$ Si $det\ f \neq 0$ , alors est un automorphisme et $det\ f^{-1}=\frac1{det\ f}$
$\bullet\$ est un morphisme de groupe entre et $\mathbb{K}\setminus \{0\}$ .
$\bullet\$ , puisqu'il est le noyau du déterminant, est un sous-groupe de