est toujours un
-espace vectoriel de dimension finie sur un corps
de caractéristique
différente de deux.
Définition
On appelle déterminant de l'endomorphisme
le déterminant de dans la base ; on le note .
On appelle groupe spécial linéaire de l'ensemble
des endomorphismes de de déterminant ; on le note .
Démonstration:Il convient pour que la définition ait un sens de démontrer que ce déterminant
ne dépend pas de la base . On suppose donc données deux bases et ,
et on montre que
.
La fonction qui à un -uple associe
est
-linéaire alternée, donc c'est
.
En spécialisant en cette égalité, on obtient
Or par les propriétés du déterminant on a
Des deux points précédents on déduit
c'est-à-dire
,
et donc
en spécialisant en .
Proposition est un automorphisme si et seulement si
Si
, alors est un automorphisme et
est un morphisme de groupe entre et
.
, puisqu'il est le noyau du déterminant, est un sous-groupe de
est toujours un
-espace vectoriel de dimension finie 
sur un corps
dans la base 
; on le note 
.
; on le note 
.
,
et on montre que
.
La fonction qui à un 
associe
est
.
,
et donc
en spécialisant en 
est un morphisme de groupe
.
