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Déterminant d'un endomorphisme

$ E$ est toujours un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$ sur un corps $ \mathbb{K}$ de caractéristique différente de deux.

Définition On appelle déterminant de l'endomorphisme $ f$ le déterminant de $ f(B)$ dans la base $ B$; on le note $ det\ f$.
On appelle groupe spécial linéaire de $ E$ l'ensemble des endomorphismes de $ E$ de déterminant $ 1$; on le note $ SL(E)$.

Démonstration: Il convient pour que la définition ait un sens de démontrer que ce déterminant ne dépend pas de la base $ B$. On suppose donc données deux bases $ B$ et $ B'$, et on montre que $ det_B(f(B))=det_{B'}(f(B'))$.
$ \bullet\ $La fonction qui à un $ n$-uple $ x \in E^n$ associe $ det_B(f(x))$ est $ n$-linéaire alternée, donc c'est $ {\lambda}.det_B$.
$ \bullet\ $En spécialisant en $ B$ cette égalité, on obtient

$\displaystyle det_B(f(x))=det_B(f(B)).det_B(x)$

$ \bullet\ $Or par les propriétés du déterminant on a

$\displaystyle det_B(x)=det_B(B').det_{B'}(x)$

$\displaystyle det_B(f(x))=det_B(B').det_{B'}(f(x))$

$ \bullet\ $Des deux points précédents on déduit

$\displaystyle det_B(B').det_{B'}(f(x))=det_B(f(B)).det_B(B').det_{B'}(x)$

c'est-à-dire $ det_{B'}(f(x))=det_B(f(B)).det_{B'}(x)$, et donc $ det_B'(f(B'))=det_B(f(B))$ en spécialisant en $ B'$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition $ \bullet\ $ $ det\ f \circ g =det\ f . det\ g$
$ \bullet\ $$ f$ est un automorphisme si et seulement si $ det\ f \neq 0$
$ \bullet\ $Si $ det\ f \neq 0$, alors $ f$ est un automorphisme et $ det\ f^{-1}=\frac1{det\ f}$
$ \bullet\ $$ det$ est un morphisme de groupe entre $ GL(E)$ et $ \mathbb{K}\setminus \{0\}$.
$ \bullet\ $$ SL(E)$, puisqu'il est le noyau du déterminant, est un sous-groupe de $ GL(E)$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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