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Déterminant d'une matrice

On travaille encore dans un corps $ \mathbb{K}$ de caractéristique différente de $ 2$.

Définition On appelle déterminant d'une matrice carrée $ M$ le déterminant de l'endomorphisme canonique associé à $ M$ dans $ \mathbb{K}^n$. On le note $ det\ M$ ou $ \vert M \vert$.
On appelle groupe spécial linéaire d'ordre $ n$ et on note $ SL_n(K)$ l' ensemble des matrices de déterminant égal à $ 1$.

Proposition Le déterminant d'une matrice est aussi le déterminant de ses vecteurs-colonnes ou de ses vecteurs-lignes dans la base canonique de $ \mathbb{K}^n$.

Les propriétés suivantes se déduisent facilement des propriétés équivalentes chez les endomorphismes ou les familles de vecteurs:
$ \bullet\ $Une matrice est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
$ \bullet\ $Le déterminant du produit est le produit des déterminants.
$ \bullet\ $$ SL_n(K)$ est un sous-groupe de $ GL_n(K)$, noyau du déterminant en tant que morphisme de groupe de $ GL_n(K)$ vers $ \mathbb{K}\setminus \{0\}$.
$ \bullet\ $Deux matrices semblables ont même déterminant.

Proposition Le déterminant d'une matrice triangulaire est égal au produit des éléments diagonaux.

Démonstration: Il suffit de voir que seule la permutation identité est telle que pour tout $ i$ $ M_{\sigma (i),i}$ soit non nul.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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