Le point de vue adopté ici est celui du calcul du déterminant d'une matrice de type sur un corps
; bien sûr il faut bien voir qu'il en va de même du calcul du déterminant d'un endomorphisme ou d'une famille de vecteurs dans une base.
Pour la suite il est nécessaire d'avoir lu le début de la partie .
Proposition [Développement suivant une colonne]
Démonstration:Il suffit de se rappeler que le déterminant est -linéaire.
Proposition [Développement suivant une ligne]
Démonstration:Il suffit de se rappeler que
.
Proposition
Démonstration:Si est inversible et pas , alors
et donc , et donc
,
d'où contradiction.
Si et ne sont pas inversibles ni l'une ni l'autre,
alors les déterminants sont égaux à 0, et l'égalité
annoncée est vérifiée.
Si est inversible, alors
sur un corps
; bien sûr il faut bien voir qu'il en va de même du calcul du déterminant d'un endomorphisme ou d'une famille de vecteurs dans une base.
![[*]](/images/crossref.png)
![$\displaystyle \forall j\in[1,n] det\ M= \sum_{i\in [1,n]} \gamma _{i,j}.M_{i,j}$](/b/c/h/img151.png)
-linéaire.
![$\displaystyle \forall i\in[1,n] det\ M= \sum_{j\in [1,n]} \gamma _{i,j}.M_{i,j}$](/b/c/h/img152.png)
.
Si 
est inversible et pas 
, alors
et donc 
, et donc
,
d'où contradiction.
