Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
183 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Pratique du calcul d'un déterminant; développement suivant une ligne ou une colonne next up previous index
suivant: Algèbre bilinéaire monter: Déterminants précédent: Déterminant d'une matrice   Index

Pratique du calcul d'un déterminant; développement suivant une ligne ou une colonne

Le point de vue adopté ici est celui du calcul du déterminant d'une matrice de type $ (n,n)$ sur un corps $ \mathbb{K}$; bien sûr il faut bien voir qu'il en va de même du calcul du déterminant d'un endomorphisme ou d'une famille de vecteurs dans une base.

Pour la suite il est nécessaire d'avoir lu le début de la partie [*].

Proposition [Développement suivant une colonne]

$\displaystyle \forall j\in[1,n] det\ M= \sum_{i\in [1,n]} \gamma _{i,j}.M_{i,j}$

Démonstration: Il suffit de se rappeler que le déterminant est $ n$-linéaire.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Développement suivant une ligne]

$\displaystyle \forall i\in[1,n] det\ M= \sum_{j\in [1,n]} \gamma _{i,j}.M_{i,j}$

Démonstration: Il suffit de se rappeler que $ det\ M=det\ ^tM$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition

$\displaystyle det\ \tilde M = det\ com(M) = (det M)^{n-1}$

Démonstration: $ \bullet\ $Si $ \tilde M$ est inversible et pas $ M$, alors $ \tilde M.M = (det\ M).I =0$ et donc $ M=0$, et donc $ \tilde M=0$, d'où contradiction.
$ \bullet\ $Si $ \tilde M$ et $ M$ ne sont pas inversibles ni l'une ni l'autre, alors les déterminants sont égaux à 0, et l'égalité annoncée est vérifiée.
$ \bullet\ $Si $ M$ est inversible, alors

$\displaystyle \tilde M.M=(det\ M).I$

$\displaystyle det\ (\tilde M.M) = det((det\ M).I)$

$\displaystyle det\ (\tilde M). det\ M = (det\ M)^n$

$\displaystyle det\ \tilde M = (det\ M)^{n-1}$

D'où le résultat annoncé.$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Algèbre bilinéaire monter: Déterminants précédent: Déterminant d'une matrice   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page