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Les bases

Définition [Espace euclidien] On appelle espace euclidien un espace préhilbertien réel

de dimension finie non nulle.
Un endomorphisme d'un espace euclidien est dit orthogonal si l'image d'une certaine base orthonormale

est une base orthonormale.
On appelle similitude d'un espace euclidien un endomorphisme égal à la composée d'une homothétie (i.e. une application du type $E\to E$ , $x\mapsto {\lambda}.x$ ) et d'un automorphisme orthogonal.
On appelle rapport d'une similitude le rapport d'une homothétie de la décomposition de cette similitude en une homothétie et un automorphisme (le rapport est unique).

Un espace euclidien est donc en particulier est espace préhilbertien et un espace de Hilbert; on pourra donc consulter la partie et plus spécialement la partie pour avoir les bases.

Proposition $\bullet\$ L'image de toute base orthonormale par un endomorphisme orthogonal est une base orthonormale.
$\bullet\$ Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est une matrice orthogonale.
$\bullet\$ Un espace euclidien est un espace de Hilbert.
$\bullet\$ $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire euclidien canonique (i.e. $<x\vert y>=\sum_{i\in[1,n]} x_i.y_i$ ) est un espace euclidien.
$\bullet\$ Un espace euclidien est isomorphe à $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire euclidien canonique pour un certain .

Démonstration: Un espace euclidien est de dimension finie, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, donc l'espace est isomorphe au sens des espaces vectoriels normés à $\mathbb{R}^n$ muni d'une norme usuelle et est donc complet. Donc c'est un espace de Hilbert. Donc il admet une base orthonormale. Le tour est joué. $\sqcap$ $\sqcup$

Soit un espace euclidien, sa dimension.
Les résultats suivants sont trop faciles pour valoir une démonstration (notez toutefois qu'ils n'apparaissent faciles qu'au vu des parties précédentes):
$\bullet\$ L'application $x \mapsto ( y \mapsto <x\vert y> )$ est un isomorphisme de sur .
$\bullet\$ Toute forme linéaire sur s'écrit $<x\vert.>$ pour un certain de .
$\bullet\$ Il existe une base orthonormale de , qui est d'ailleurs une base hilbertienne aussi.

Définition Il y a plusieurs notions d'angles à définir:
On définit l'angle entre deux vecteurs non nuls et comme étant le réel $\theta$ de $[0,\Pi]$ tel que $cos(\theta)=\frac{<x\vert y>}{{\parallel}x {\parallel}.{\parallel}y {\parallel}}$ .
On définit l'angle entre deux droites par l'angle entre un vecteur d'une base de l'une et un vecteur d'une base de l'autre.
On définit l'angle entre deux hyperplans comme l'angle entre les droites qui leurs sont orthogonales.
On définit l'angle entre une droite et un hyperplan comme l'angle entre la droite et la droite orthogonale à l'hyperplan.
On dit que deux sous-espaces vectoriels de sont perpendiculaires s'ils sont orthogonaux.

Proposition Un endomorphisme est une similitude si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées:
$\bullet\$ il est bijectif
$\bullet\$ il conserve l'écart angulaire

Démonstration: Il est très facile de vérifier qu'une similitude vérifie bien les deux propriétés annoncées.

Réciproquement, supposons les deux propriétés vérifiées par un endomorphisme . Alors:

$\bullet\$ Considérons l'application $g:x \mapsto \frac{{\parallel}f(x) {\parallel}}{{\parallel}x {\parallel}}$ , pour non nul.

$\bullet\$ Conservant l'écart angulaire, l'application conserve aussi l'orthogonalité.

$\bullet\$ Etant donnés et distincts, $z=y-\frac{<x\vert y>}{{\parallel}x {\parallel}^2}x$ est orthogonal à .

$\bullet\$ est donc orthogonal à .

$\bullet\$ En développant $<f(x)\vert f(z)>$ puis en factorisant par $<x\vert y>\frac{{\parallel}f(x) {\parallel}}{{\parallel}x {\parallel}}$ , on obtient que .

$\bullet\$ est donc constante, égale à $\mu$ .

$\bullet\$ $\frac1\mu f$ conserve donc la norme, et donc est orthogonal d'après la proposition . Par définition, est donc une similitude. $\sqcap$ $\sqcup$

La preuve ci-dessus montre qu'en fait suffisant qu'un endomorphisme bijectif conserve l'orthogonalité pour qu'on puisse conclure qu'il s'agit d'une similitude.