Endomorphisme adjoint

Théorème Pour tout endomorphisme d'un espace euclidien , il existe un et un seul endomorphisme tel que pour tout et tout de , .

Démonstration: Existence et unicité de : pour tout , l'application est une forme linéaire; donc par l'isomorphisme décrit plus haut entre et son dual il existe un unique tel que pour tout .
Linéarité de : soit

Définition est appelé endomorphisme adjoint de .
est dit orthogonal si .
est dit symétrique si .
On note l'ensemble des endomorphismes symétriques de .
est dit antisymétrique si .
On note l'ensemble des endomorphismes antisymétriques de .
On appelle groupe orthogonal de et on note l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de ; c'est un sous-groupe de , ensemble des automorphismes de .
On appelle groupe spécial orthogonal de et on note l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de de déterminant ; c'est un sous-groupe de .

Quelques propriétés faciles de euclidien:
Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si son adjoint l'est.
L'application est un endomorphisme de ; c'est un endomorphisme involutif, c'est à dire que est égal à .






est diagonalisable est diagonalisable.
si est inversible, alors aussi et .
sous-espace vectoriel de est stable par si et seulement si est stable par .
Un endomorphisme et son adjoint ont même polynôme caractéristique.

A peine plus dur:

Proposition Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si il conserve le produit scalaire.
Un endomorphisme est orthogonal si et seulement si il conserve la norme.

Démonstration: Il est vite vu que les conditions en question sont équivalentes entre elles, car la norme s'exprime en fonction du produit scalaire, et le produit scalaire en fonction de la norme; le calcul est facile. On va donc se contenter de montrer les deux implications suivantes:
Si est orthogonal, alors conserve la norme: évident car

On peut aussi noter le résultat amusant suivant:

Proposition Une application de dans avec euclidien conservant le produit scalaire est linéaire.
Une application de dans avec euclidien conservant la norme est linéaire.

Démonstration: Il suffit de développer et de calculer un peu.
Un peu de calcul sur les formules liant produit scalaire et norme suffit...

Corollaire est orthogonal si et seulement si l'image d'une base orthonormale est une base orthonormale.
L'image d'une base orthonormale par un endomorphisme orthogonal est une base orthonormale.

Corollaire Une application de dans avec euclidien est une isométrie si et seulement si c'est la composée d'une translation et d'un endomorphisme orthogonal.

Démonstration: Il est évident que la composée d'une translation et d'un endomorphisme orthogonal est une isométrie. Réciproquement, on procède comme suit:
On se donne une isométrie de dans
On considère
On montre que conserve la norme
On conclut par la proposition .

Quelques propriétés faciles des endomorphismes orthogonaux, utilisant les résultats ci-dessus; Proposition Soit :
Le spectre de est inclus dans
Le déterminant de est ou
est stable par est stable par Un endomorphisme orthogonal a toutes ses valeurs propres égales à ou
Un endomorphisme orthogonal diagonalisable est une symétrie orthogonale (voir

Quelques résultats sur les endomorphismes symétriques et antisymétriques ( un espace euclidien):

Proposition Un endomorphisme est symétrique (resp. antisymétrique) si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est symétrique (resp. antisymétrique)
L'ensemble des endomorphismes de est somme directe de l'ensemble des endomorphismes symétriques et de l'ensemble des endomorphismes antisymétriques; .
    avec
    avec
    avec
si est un endomorphisme antisymétrique de , alors est un endomorphisme symétrique
Un endomorphisme de est antisymétrique si et seulement si
La seule valeur propre possible d'un endomorphisme antisymétrique est 0
L'image et le noyau de symétrique ou antisymétrique sont supplémentaires orthogonaux
Le rang d'un endormophisme antisymétrique est pair (en effet sa restriction à son image est une bijection et est antisymétrique, donc il n'a pas de valeur propre puisque 0 n'est pas de valeur propre, donc le polynôme caractéristique n'a pas de racine, donc l'image est de dimension paire)
Les sous-espaces propres d'un endomorphisme symétrique sont supplémentaires et orthogonaux.
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme symétrique est scindé sur (c'est à dire que la somme des multiplicités de ses racines sur est égal à son degré).
Un endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une base orthonormale

Démonstration: La seule chose qui justifie que l'on fasse une preuve est l'avant-dernier point, qui entraîne le dernier.
On se donne un endomorphisme symétrique, et sa matrice dans une base orthonormale.
Soit une racine dans du polynôme caractéristique de .
On peut trouver un vecteur colonne (à coefficients complexes non nuls) tel que

en conjuguant et en transposant on obtient c'est à dire
on a donc
est non nul donc et c'est fini.