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Théorème de Cantor-Bernstein

Théo. Sylow

Théo. Ascoli

Théo. Baire

Loi forte grd nbre

Nains magiques

Orientation d'un espace euclidien

suivant: Formes quadratiques sur un monter: Espaces euclidiens précédent: Endomorphisme adjoint Index

Orientation d'un espace euclidien

On pourra consulter au préalable la partie .

Définition On appelle espace euclidien orienté un couple où est un espace euclidien et une classe d'équivalence sur l'ensemble des bases de pour la relation d'équivalence ${\cal R}$ définie par

$\displaystyle B {\cal R}B' \iff det\ P_{B,B'}>0$

L'orientation de sous-espace vectoriel de dimension de espace euclidien orienté de dimension suivant une base d'un supplémentaire de est l'espace euclidien orienté

$\displaystyle (F,\{(e_{p+1},...,e_n) / (e_1,...,e_n) \in C\})$

(il s'agit d'un espace euclidien orienté)
On appelle base directe de l'espace euclidien orienté

une base appartenant à

.
On appelle base indirecte de l'espace euclidien orienté

une base n'appartenant pas à

Il n'y a que deux orientations possibles d'un même espace euclidien.

L'espace euclidien orienté usuel correspondant à $\mathbb{R}^n$ est donné par la base (directe par définition)

$\displaystyle ((1,0,...,0),(0,1,0,...,0),(0,0,1,0,...,0),...,(0,0,...,0,1,0),(0,...,0,1)).$

Propriétés faciles: ( est un espace euclidien donné, de dimension )
$\bullet\$ Si $\sigma$ est une permutation paire (resp. impaire) et si est une base de espace euclidien, alors $(e_i)_{i\in [1,n]}$ et $(e_{\sigma (i)})_{i\in [1,n]}$ sont dans la même classe d'équivalence (resp. ne sont pas dans la même classe d'équivalence) (voir pour en être complètement convaincu).
$\bullet\$ Si $(e_i)_{i\in [1,n]}$ et $(f_i)_{i\in [1,n]}$ sont deux bases de avec ( est donc un automorphisme), alors les bases $(e_i)_{i\in [1,n]}$ et $(f_i)_{i\in [1,n]}$ sont dans la même classe d'équivalence si et seulement si $det\ f>0$ (en effet est alors l'endomorphisme de la matrice de passage de la base des à la base des .
$\bullet\$ si et sont dans la même classe alors $det_B(.)=det_{B'}(.)$ .

Ceci permet d'introduire de nouvelles définitions:

Définition On appelle produit mixte d'un espace euclidien de dimension l'application pour une base $B \in C$ quelconque; on le note $(x_1,...,x_n)\mapsto [x_1,...,x_n]=det_B(x_1,...,x_n)$ .
Si est un espace euclidien de dimension , alors étant donnés et dans , l'application qui à dans associe est linéaire, donc elle est égale à $x \mapsto <c\vert x>$ pour un certain $c\in E$ (voir le théorème ); on note $a\land b$ l'élément de , et on l'appelle produit vectoriel de et .

Le produit vectoriel n'est <EM>pas commutatif !

Intuitivement, le produit mixte de est le volume algébrique (lié à l'orientation) de $\{O+t_1.x_1+t_2.x_2+...+t_n.x_n / (t_1,...,t_n) \in [0,1]^n \}$ (indépendamment de ).

Proposition Propriétés du produit mixte et du produit vectoriel (celles du produit mixte sont valables en toute dimension; le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension ) (dans les deux cas rien n'est possible en dehors d'un espace euclidien orienté):
$\bullet\$ $a\land b \in Vect(a,b)^\bot$
$\bullet\$ $a\land b = -b\land a$
$\bullet\$ $a\land b =0 \iff a$ et sont liés
$\bullet\$ $(a,b) \mapsto a\land b$ est bilinéaire
$\bullet\$ libre $\to (a,b,a\land b)$ est une base directe
$\bullet\$ Le produit mixte d'une base est non nul
$\bullet\$ Le produit mixte d'une base directe est strictement positif
$\bullet\$ Le produit mixte d'une base indirecte est strictement négatif
$\bullet\$ Une famille est une base orthonormale directe si et seulement si son produit mixte est
$\bullet\$ Une famille est une base orthonormale indirecte si et seulement si son produit mixte est
$\bullet\$ $[f(x_1),...,f(x_n)]=(det\ f)[x_1,...,x_n]$
$\bullet\$ Dans $\mathbb{R}^3$ , le produit vectoriel de par est égal à

$\displaystyle (y.z'-z.y',z.x'-x.z',x.y'--y.x')$

moyen mnémotechnique : ce sont les cofacteurs

de la troisième colonne dans la matrice suivante:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} x & x' & ? \\ y & y' & ? \\ z & z' & ? \end{array} \right)$

$\bullet\$ $(a\land b)\land c=<a\vert c>.b-<b\vert c>.a$
$\bullet\$ $a\land (b\land c)=<a\vert c>.b-<a\vert b>.c$
$\bullet\$ Si

est euclidien orienté de dimension

, alors l'application $\phi$ de

dans

définie par

$\phi(x)= (y\mapsto x\land y)$ est à valeurs dans l'ensemble des endomorphismes antisymétriques de

; en restreignant l'espace d'arrivée à l'ensemble des endomorphismes antisymétriques de

c'est un isomorphisme de

.
La matrice de $\phi(u)$ avec

est $\left(\begin{array}{ccc}0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{array}\right)$ dans la même base.

Toutes ces propriétés s'obtiennent facilement en considérant simplement la définition du produit mixte ou du produit vectoriel.

Proposition [Identité de Lagrange]

$\displaystyle {\parallel}a \land b {\parallel}^2 = {\parallel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a\vert b>^2$

Démonstration: On suppose et libres, sinon le résultat est clair par Cauchy-Schwartz (voir la partie ).

$\begin{displaymath}[a,b,a\land b]^2=\left\vert \begin{array}{ccc} <a\vert a> & <... ...lel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a\vert b>^2) \end{displaymath}$

mais on a aussi

$\displaystyle [a,b,a\land b]^2=<a\land b \vert a\land b>^2={\parallel}a\land b {\parallel}^4$

D'où le résultat désiré. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire

$\displaystyle {\parallel}a \land b {\parallel}= {\parallel}a {\parallel}\times {\parallel}b {\parallel}\times sin(\theta)$

avec $\theta$ l'écart angulaire

entre

Maintenant quelques propriétés un peu plus difficiles.

Proposition

$\displaystyle [x_1,...,x_n]^2=det ( <x_i \vert x_j>_{(i,j)\in[1,n]^2} )$

Démonstration: On pose la matrice $M_{i,j}=e_i^*(x_j)$ avec $(e_i)_{i\in [1,n]}$ une base orthonormale.

$\displaystyle [x_1,...,x_n]=det\ M=det\ ^tM$

$\displaystyle [x_1,...,x_n]=det\ ^tM.M$

$\displaystyle M_{i,j}=<e_i\vert x_j>$

$\displaystyle (^tM.M)_{i,j}=\sum_{k=1}^n <e_k\vert x_i>.<e_k\vert x_j>$

d'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition

$\displaystyle \vert[x_1,...,x_n]\vert \leq \Pi_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}$

$\displaystyle \vert[x_1,...,x_n]\vert = \Pi_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}\iff (\exists i/x_i=0 \lor (x_i)_{i\in[1,n]}$ est orthogonale $\displaystyle )$

Démonstration: Si le système est lié, le résultat est clair (on rappelle que le déterminant d'une famille liée est nul).
Sinon, on peut construire par la méthode d'orthonormalisation de Schmidt une base avec $\forall (i,j) \in [1,n]^2\ <x_j\vert e_i>\ >0$ .
La matrice de passage $P_{(e_i)_{i\in [1,n]},(x_i)_{i\in[1,n]}}$ est triangulaire (voir ); son déterminant est le produit des $<x_i\vert y_i>$ , donc par l'inégalité de Schwartz est inférieur ou égal en valeur absolue au produit des ${\parallel}x_i {\parallel}$ , avec égalité si et seulement si pour tout et sont liés, donc si la famille est orthonormale. $\sqcap$ $\sqcup$