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Orientation d'un espace euclidien

On pourra consulter au préalable la partie[*].

Définition On appelle espace euclidien orienté un couple $ (E,C)$$ E$ est un espace euclidien et $ C$ une classe d'équivalence sur l'ensemble des bases de $ E$ pour la relation d'équivalence $ {\cal R}$ définie par

$\displaystyle B {\cal R}B' \iff det\ P_{B,B'}>0$

L'orientation de $ F$ sous-espace vectoriel de dimension $ n-p$ de $ (E,C)$ espace euclidien orienté de dimension $ n$ suivant $ (e_1,...,e_p)$ une base d'un supplémentaire de $ F$ est l'espace euclidien orienté

$\displaystyle (F,\{(e_{p+1},...,e_n) / (e_1,...,e_n) \in C\})$

(il s'agit d'un espace euclidien orienté)
On appelle base directe de l'espace euclidien orienté $ (E,C)$ une base appartenant à $ C$.
On appelle base indirecte de l'espace euclidien orienté $ (E,C)$ une base n'appartenant pas à $ C$.

Attention! Il n'y a que deux orientations possibles d'un même espace euclidien.

L'espace euclidien orienté usuel correspondant à $ \mathbb{R}^n$ est donné par la base (directe par définition)

$\displaystyle ((1,0,...,0),(0,1,0,...,0),(0,0,1,0,...,0),...,(0,0,...,0,1,0),(0,...,0,1)).$

Propriétés faciles: ($ E$ est un espace euclidien donné, de dimension $ n$)
$ \bullet\ $Si $ \sigma $ est une permutation paire (resp. impaire) et si $ e_1,...,e_n$ est une base de $ E$ espace euclidien, alors $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ et $ (e_{\sigma (i)})_{i\in [1,n]}$ sont dans la même classe d'équivalence (resp. ne sont pas dans la même classe d'équivalence) (voir [*] pour en être complètement convaincu).
$ \bullet\ $Si $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ et $ (f_i)_{i\in [1,n]}$ sont deux bases de $ E$ avec $ f_i=f(e_i)$ ($ f$ est donc un automorphisme), alors les bases $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ et $ (f_i)_{i\in [1,n]}$ sont dans la même classe d'équivalence si et seulement si $ det\ f>0$ (en effet $ f$ est alors l'endomorphisme de la matrice de passage de la base des $ e_i$ à la base des $ f_i$.
$ \bullet\ $si $ B$ et $ B'$ sont dans la même classe alors $ det_B(.)=det_{B'}(.)$.

Ceci permet d'introduire de nouvelles définitions:

Définition On appelle produit mixte d'un espace euclidien $ (E,C)$ de dimension $ n$ l'application $ det_B$ pour une base $ B \in C$ quelconque; on le note $ (x_1,...,x_n)\mapsto [x_1,...,x_n]=det_B(x_1,...,x_n)$.
Si $ E$ est un espace euclidien de dimension $ 3$, alors étant donnés $ a$ et $ b$ dans $ E$, l'application qui à $ x$ dans $ E$ associe $ [a,b,x]$ est linéaire, donc elle est égale à $ x \mapsto <c\vert x>$ pour un certain $ c\in E$ (voir le théorème [*]); on note $ a\land b$ l'élément $ c$ de $ E$, et on l'appelle produit vectoriel de $ a$ et $ b$.

Attention! Le produit vectoriel n'est <EM>pas commutatif !

Pour y voir plus clair Intuitivement, le produit mixte de $ (x_1,...,x_n)$ est le volume algébrique (lié à l'orientation) de $ \{O+t_1.x_1+t_2.x_2+...+t_n.x_n / (t_1,...,t_n) \in [0,1]^n \}$ (indépendamment de $ O$).

Proposition Propriétés du produit mixte et du produit vectoriel (celles du produit mixte sont valables en toute dimension; le produit vectoriel n'est défini qu'en dimension $ 3$) (dans les deux cas rien n'est possible en dehors d'un espace euclidien orienté):
$ \bullet\ $ $ a\land b \in Vect(a,b)^\bot$
$ \bullet\ $ $ a\land b = -b\land a$
$ \bullet\ $ $ a\land b =0 \iff a$    et $ b$    sont liés
$ \bullet\ $ $ (a,b) \mapsto a\land b$ est bilinéaire
$ \bullet\ $$ (a,b)$ libre $ \to (a,b,a\land b)$ est une base directe
$ \bullet\ $Le produit mixte d'une base est non nul
$ \bullet\ $Le produit mixte d'une base directe est strictement positif
$ \bullet\ $Le produit mixte d'une base indirecte est strictement négatif
$ \bullet\ $Une famille est une base orthonormale directe si et seulement si son produit mixte est $ 1$
$ \bullet\ $Une famille est une base orthonormale indirecte si et seulement si son produit mixte est $ -1$
$ \bullet\ $ $ [f(x_1),...,f(x_n)]=(det\ f)[x_1,...,x_n]$
$ \bullet\ $Dans $ \mathbb{R}^3$, le produit vectoriel de $ (x,y,z)$ par $ (x',y',z')$ est égal à

$\displaystyle (y.z'-z.y',z.x'-x.z',x.y'--y.x')$

moyen mnémotechnique : ce sont les cofacteurs de la troisième colonne dans la matrice suivante:

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} x & x' & ? \\ y & y' & ? \\ z & z' & ? \end{array} \right)$

$ \bullet\ $ $ (a\land b)\land c=<a\vert c>.b-<b\vert c>.a$
$ \bullet\ $ $ a\land (b\land c)=<a\vert c>.b-<a\vert b>.c$
$ \bullet\ $Si $ E$ est euclidien orienté de dimension $ 3$, alors l'application $ \phi$ de $ E$ dans $ L(E)$ définie par $ \phi(x)= (y\mapsto x\land y)$ est à valeurs dans l'ensemble des endomorphismes antisymétriques de $ E$; en restreignant l'espace d'arrivée à l'ensemble des endomorphismes antisymétriques de $ E$ c'est un isomorphisme de $ E$.
La matrice de $ \phi(u)$ avec $ u=(x,y,z)$ est $ \left(\begin{array}{ccc}0 & -z & y \\ z & 0 & -x \\ -y & x & 0 \end{array}\right)$ dans la même base.

Toutes ces propriétés s'obtiennent facilement en considérant simplement la définition du produit mixte ou du produit vectoriel.

Proposition [Identité de Lagrange]

$\displaystyle {\parallel}a \land b {\parallel}^2 = {\parallel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a\vert b>^2$


Démonstration: On suppose $ a$ et $ b$ libres, sinon le résultat est clair par Cauchy-Schwartz (voir la partie [*]).

\begin{displaymath}[a,b,a\land b]^2=\left\vert
\begin{array}{ccc}
<a\vert a> & <...
...lel}a {\parallel}^2.{\parallel}b {\parallel}^2 - <a\vert b>^2)
\end{displaymath}

mais on a aussi

$\displaystyle [a,b,a\land b]^2=<a\land b \vert a\land b>^2={\parallel}a\land b {\parallel}^4$

D'où le résultat désiré.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire

$\displaystyle {\parallel}a \land b {\parallel}= {\parallel}a {\parallel}\times {\parallel}b {\parallel}\times sin(\theta)$

avec $ \theta$ l'écart angulaire entre $ a$ et $ b$.

Maintenant quelques propriétés un peu plus difficiles.

Proposition

$\displaystyle [x_1,...,x_n]^2=det ( <x_i \vert x_j>_{(i,j)\in[1,n]^2} )$


Démonstration: On pose $ M$ la matrice $ M_{i,j}=e_i^*(x_j)$ avec $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ une base orthonormale.

$\displaystyle [x_1,...,x_n]=det\ M=det\ ^tM$

$\displaystyle [x_1,...,x_n]=det\ ^tM.M$

$\displaystyle M_{i,j}=<e_i\vert x_j>$

$\displaystyle (^tM.M)_{i,j}=\sum_{k=1}^n <e_k\vert x_i>.<e_k\vert x_j>$

d'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition

$\displaystyle \vert[x_1,...,x_n]\vert \leq \Pi_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}$

$\displaystyle \vert[x_1,...,x_n]\vert = \Pi_{i=1}^n {\parallel}x_i {\parallel}\iff (\exists i/x_i=0 \lor (x_i)_{i\in[1,n]}$    est orthogonale$\displaystyle )$


Démonstration: Si le système est lié, le résultat est clair (on rappelle que le déterminant d'une famille liée est nul).
Sinon, on peut construire par la méthode d'orthonormalisation de Schmidt une base $ (e_1,..,e_n)$ avec $ \forall (i,j) \in [1,n]^2\ <x_j\vert e_i>\ >0$.
La matrice de passage $ P_{(e_i)_{i\in [1,n]},(x_i)_{i\in[1,n]}}$ est triangulaire (voir [*]); son déterminant est le produit des $ <x_i\vert y_i>$, donc par l'inégalité de Schwartz est inférieur ou égal en valeur absolue au produit des $ {\parallel}x_i {\parallel}$, avec égalité si et seulement si pour tout $ i$ $ x_i$ et $ y_i$ sont liés, donc si la famille est orthonormale.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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