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Définition et premières propriétés

Définition On appelle espace hermitien un espace préhilbertien complexe de dimension finie, non réduit à $ \{0\}$.

On rappelle quelques propriétés, issues plus ou moins directement de la définition des espaces préhilbertiens complexes (voir la partie [*] pour des rappels):

$ \bullet\ $Un espace hermitien est un espace de Hilbert; toutes les propriétés des espaces de Hilbert sont donc valables ici (voir la partie [*])

$ \bullet\ $$ <.\vert.>$ est sesquilinéaire (i.e. semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la deuxième variable)

$ \bullet\ $si $ x$ est non nul alors $ <x\vert x>$ est un réel $ >0$ ($ <.\vert.>$ est positive car pour tout $ x$ $ <x\vert x>$ est positif et définie car $ x$ non nul $ \to$ $ <x\vert x>$ non nul)

$ \bullet\ $$ <.\vert.>$ est hermitienne, c'est-à-dire $ <x\vert y>=\overline {<y\vert x>}$

$ \bullet\ $toute famille orthonormale peut être prolongée en une base orthonormale

$ \bullet\ $Pour tout sous-espace $ F$ d'un espace hermitien $ E$, on a $ E=F \oplus F^\bot$ et $ F=F^\bot$

$ \bullet\ $Etant donnée une base orthonormale $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ de $ E$ hermitien, tout vecteur $ x$ de $ E$ vérifie

$\displaystyle x=\sum_{i=1..n} <e_i\vert x> e_i$

$ \bullet\ $Etant donnée une base $ (x_i)_{i \in [1,n]}$ d'un espace hermitien, il existe une base orthonormale $ (y_i)_{i\in [1,n]}$ telle que pour tout $ j$ $ y_j$ est combinaison linéaire des $ x_i$ pour $ 1\leq i\leq j$ (voir [*])

$ \bullet\ $Etant donné $ E$ un espace hermitien l'application qui à $ x$ associe l'application $ y\mapsto <x\vert y>$ est un semi-isomorphisme de $ E$ sur $ E^*$.

$ \bullet\ $En corollaire de la propriété ci-dessus, étant donné $ E$ un espace hermitien de dimension $ n$, pour toute famille $ (x_1,...,x_n)$ de $ \mathbb{C}^n$ et toute base $ (e_1,...,e_n)$ de $ E$, il existe un unique $ x$ dans $ E$ tel que $ <x\vert e_i>=x_i$ (on aurait pu, au lieu de $ <x\vert e_i>=x_i$, demander $ <e_i\vert x>=x_i$, comme on s'en rend facilement compte en considérant le fait que $ <.\vert.>$ est hermitienne).

$ \bullet\ $Etant donnée $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ une base orthonormale de $ E$ avec $ E$ hermitien, la famille des $ (x \mapsto <e_i\vert x>$ est la base duale de la base des $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ (il s'agit de l'image de la famille des $ e_i$ par le semi-isomorphisme ci-dessus).

Attention! La dernière propriété nécéssite que la famille soit orthonormale!

$ \mathbb{C}^n$ muni de l'application $ (x,y)\mapsto \sum_{i=1}^n \overline x_i\times y_i$ est un espace hermitien.

De même que les espaces euclidiens sont isomorphes à $ \mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire euclidien usuel, on retiendra que les espaces hermitiens sont isomorphes à $ \mathbb{C}^n$ muni du produit scalaire hermitien usuel (ce qui fait que beaucoup de propriétés intuitives se retrouvent vraies).


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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