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Définition et premières propriétés

Définition On appelle espace hermitien un espace préhilbertien complexe de dimension finie, non réduit à $\{0\}$ .

On rappelle quelques propriétés, issues plus ou moins directement de la définition des espaces préhilbertiens complexes (voir la partie pour des rappels):

$\bullet\$ Un espace hermitien est un espace de Hilbert; toutes les propriétés des espaces de Hilbert sont donc valables ici (voir la partie )

$\bullet\$ $<.\vert.>$ est sesquilinéaire (i.e. semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la deuxième variable)

$\bullet\$ si est non nul alors $<x\vert x>$ est un réel ( $<.\vert.>$ est positive car pour tout $<x\vert x>$ est positif et définie car non nul $\to$ $<x\vert x>$ non nul)

$\bullet\$ $<.\vert.>$ est hermitienne, c'est-à-dire $<x\vert y>=\overline {<y\vert x>}$

$\bullet\$ toute famille orthonormale peut être prolongée en une base orthonormale

$\bullet\$ Pour tout sous-espace d'un espace hermitien , on a $E=F \oplus F^\bot$ et $F=F^\bot$

$\bullet\$ Etant donnée une base orthonormale $(e_i)_{i\in [1,n]}$ de hermitien, tout vecteur de vérifie

$\displaystyle x=\sum_{i=1..n} <e_i\vert x> e_i$

$\bullet\$ Etant donnée une base $(x_i)_{i \in [1,n]}$ d'un espace hermitien, il existe une base orthonormale $(y_i)_{i\in [1,n]}$ telle que pour tout est combinaison linéaire des pour $1\leq i\leq j$ (voir )

$\bullet\$ Etant donné un espace hermitien l'application qui à associe l'application $y\mapsto <x\vert y>$ est un semi-isomorphisme de sur .

$\bullet\$ En corollaire de la propriété ci-dessus, étant donné un espace hermitien de dimension , pour toute famille de $\mathbb{C}^n$ et toute base de , il existe un unique dans tel que $<x\vert e_i>=x_i$ (on aurait pu, au lieu de $<x\vert e_i>=x_i$ , demander $<e_i\vert x>=x_i$ , comme on s'en rend facilement compte en considérant le fait que $<.\vert.>$ est hermitienne).

$\bullet\$ Etant donnée $(e_i)_{i\in [1,n]}$ une base orthonormale de avec hermitien, la famille des $(x \mapsto <e_i\vert x>$ est la base duale de la base des $(e_i)_{i\in [1,n]}$ (il s'agit de l'image de la famille des par le semi-isomorphisme ci-dessus).

La dernière propriété nécéssite que la famille soit orthonormale!

$\mathbb{C}^n$ muni de l'application $(x,y)\mapsto \sum_{i=1}^n \overline x_i\times y_i$ est un espace hermitien.

De même que les espaces euclidiens sont isomorphes à $\mathbb{R}^n$ muni du produit scalaire euclidien usuel, on retiendra que les espaces hermitiens sont isomorphes à $\mathbb{C}^n$ muni du produit scalaire hermitien usuel (ce qui fait que beaucoup de propriétés intuitives se retrouvent vraies).