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Adjoint d'un endomorphisme d'un espace hermitien

Théorème Pour tout endomorphisme $ f$ de l'espace hermitien $ E$ il existe un et un seul endomorphisme $ f^*$ de $ E$ tel que pour tout $ (x,y) \in E^2$ on ait $ <f(x)\vert y>=<x\vert f^*(y)>$.

Démonstration:

$ \bullet\ $Existence

L'application $ f^*$ $ x \mapsto \sum_{i=1}^n <f(e_i)\vert x>.e_i$.

$ \bullet\ $Unicité

$ <e_i\vert f^*(x)>=<f(e_i)\vert x>$, donc $ f^*(x)$ est entièrement déterminé par ses coordonnées.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition L'application $ F$ qui à $ f$ associe $ f^*$ est un semi-endomorphisme de $ L(E)$. $ F$ est involutif, c'est à dire que $ F \circ F=I$.

Démonstration: Facile!$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition $ \bullet\ $$ f^*$ s'appelle l'adjoint de $ f$.

$ \bullet\ $$ f$ endomorphisme d'un espace hermitien $ E$ est dit unitaire lorsque $ f\circ f^*=f^*\circ f=I$.

$ \bullet\ $$ f$ endomorphisme d'un espace hermitien $ E$ est dit hermitien lorsque $ f = f^*$.

$ \bullet\ $Une matrice carrée $ M$ à coefficients dans $ \mathbb{C}$ est dite unitaire si elle vérifie $ \overline {^tM}.M=I$.

$ \bullet\ $Une matrice carrée $ M$ à coefficients dans $ \mathbb{C}$ est dite hermitienne si elle vérifie $ \overline {^tM}=M$.

On remarque donc qu'un endomorphisme unitaire est un endomorphisme inversible $ f$ tel que pour tout $ x$ et tout $ y$ de $ E$ $ <f(x)\vert y>=<x\vert f^{-1}(y)>$.

Par ailleurs un endomorphisme $ f$ d'un espace hermitien est hermitien lorsque pour tout $ x$ et tout $ y$ de $ E$ on a $ <f(x)\vert y>=<x\vert f(y)>$.

Sans surprise suite au cas euclidien, un endomorphisme $ f$ d'un espace hermitien est unitaire si et seulement si il conserve le produit scalaire, i.e.

$\displaystyle <f(x)\vert f(y)>=<x\vert y>$

Ou même simplement la norme, i.e.

$\displaystyle {\parallel}f(x) {\parallel}= f(x) $

De même que dans le cas des euclidiens, on note que l'adjoint de l'inverse (quand il existe) est l'inverse de l'adjoint (qui dans ce cas existe nécessairement), que l'orthogonal de l'image est le noyau de l'adjoint, et que l'image de l'adjoint est l'orthogonal du noyau; que $ (f\circ g)^*=g^*\circ f^*$.

De même qu'un endomorphisme d'un espace euclidien est orthogonal si et seulement si l'image d'une base orthonormale est orthonormale, un endomorphisme d'un espace hermitien est unitaire si et seulement si l'image d'une base orthonormale est une base orthonormale.

Alors que dans le cas euclidien et dans une base orthonormale la matrice de l'adjoint est la transposée de la matrice, dans le cas hermitien et dans une base orthonormale la matrice de l'adjoint est la conjuguée de la matrice transposée. C'est-à-dire

$\displaystyle Mat_{(e_i)_{i\in[1,n]}}(f)=\overline {^t Mat_{(e_i)_{i\in[1,n]}}(f)}$

Conséquence logique de ce qui précède, un endomorphisme est unitaire si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est unitaire.

Et un endomorphisme est hermitien si et seulement si sa matrice dans une base orthonormale est hermitienne.

Les valeurs propres d'une matrice hermitienne (ou d'un endomorphisme hermitien) sont toutes réelles.

Attention! Le polynôme caractéristique de $ f^*$ est le conjugué du polynôme caractéristique de $ f$

On pourra consulter la partie[*] pour plus d'informations sur la structure de l'ensemble des endomorphismes unitaires.

Le spectre d'une matrice unitaire est inclus dans le cercle unité; son déterminant appartient donc aussi à ce cercle unité.

Proposition [Sur les endomorphismes hermitiens] L'image et le noyau d'un endomorphisme hermitien sont orthogonaux.

Les sous-espaces propres d'un endomorphisme hermitien sont en somme directe orthogonale.

Si $ f$ est un endomorphisme hermitien et si $ F$ est un sous-espace stable par $ f$ alors $ F^\bot$ est stable par $ f$ qui induit sur cet espace un endomorphisme hermitien.

Si $ f$ est un endomorphisme hermitien, alors $ f$ est diagonalisable dans une certaine base orthonormale.

Démonstration: Même principe que dans le cas euclidien.$ \sqcap$$ \sqcup$

De même, si $ M$ est une matrice complexe hermitienne, alors il existe $ P$ unitaire telle que $ ^t \overline P.M.P$ soit diagonale.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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