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Espaces préhilbertiens réels

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Espaces préhilbertiens réels

Il est recommandé de lire au préalable la partie et la partie .

Définition Etant donné un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel , on appelle produit scalaire euclidien sur une application $<.\vert.>$ de dans $\mathbb{R}$ telle que:
$\bullet\$ $<.\vert.>$ est bilinéaire
$\bullet\$ $<x\vert y>=<y\vert x>$ pour tout et tout
$\bullet\$ $\forall x\not= 0 <x\vert x>>0$ (i.e. la forme quadratique associée à $\phi$ est une forme bilinéaire définie positive)

On appelle espace préhilbertien réel un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire euclidien.
Un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien réel muni d'un produit scalaire euclidien, muni de la restriction du produit scalaire euclidien à , est appelée sous-espace préhilbertien de (c'est un espace préhilbertien).

Etant donné un produit scalaire euclidien $<.\vert.>$ , on définit une norme euclidienne; il s'agit de l'application $x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x\vert x>}$ . On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme (facile au vu des résultats de la partie ).

On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie.

Un produit scalaire euclidien sur un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel est donc une forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique définie positive.

Exemples:
$\bullet\$ Le produit scalaire euclidien canonique sur $\mathbb{R}^n$ est défini par

$\displaystyle (x\vert y)=\sum_{i\in[1,n]} x_i.y_i.$

$\bullet\$ Le produit scalaire euclidien canonique sur le sous-ensemble de $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ des suites sommables (i.e. des $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ telles que $\sum_{n\in \mathbb{N}} \vert u_n\vert$ converge) est défini par

$\displaystyle <(u_n)_{n\in \mathbb{N}}\vert(v_n)_{n\in \mathbb{N}}>=\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n.v_n.$

Il est important de rappeler le théorème et le corollaire . Ils stipulent que:
$\bullet\$ $<x\vert y>^2 \leq <x\vert x>.<y\vert y>$ (inégalité de Schwartz)
$\bullet\$ $\vert<x\vert y>\vert \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}$ (inégalité de Schwartz, en passant à la racine)
$\bullet\$ ${\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}$ (inégalité de Minkowski = inégalité triangulaire)
$\bullet\$ Le produit scalaire est continu (conséquence de Schwartz)