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Espaces préhilbertiens réels

Il est recommandé de lire au préalable la partie [*] et la partie [*].

Définition Etant donné $ E$ un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel , on appelle produit scalaire euclidien sur $ E$ une application $ <.\vert.>$ de $ E^2$ dans $ \mathbb{R}$ telle que:
$ \bullet\ $$ <.\vert.>$ est bilinéaire
$ \bullet\ $ $ <x\vert y>=<y\vert x>$ pour tout $ x$ et tout $ y$
$ \bullet\ $ $ \forall x\not= 0 <x\vert x>>0$ (i.e. la forme quadratique associée à $ \phi$ est une forme bilinéaire définie positive)

On appelle espace préhilbertien réel un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire euclidien.
Un sous-espace vectoriel $ F$ d'un espace préhilbertien réel $ E$ muni d'un produit scalaire euclidien, muni de la restriction du produit scalaire euclidien à $ F$, est appelée sous-espace préhilbertien de $ E$ (c'est un espace préhilbertien).

Etant donné un produit scalaire euclidien $ <.\vert.>$, on définit une norme euclidienne; il s'agit de l'application $ x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x\vert x>}$. On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme (facile au vu des résultats de la partie [*]).

Attention! On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie.

Un produit scalaire euclidien sur un $ \mathbb{R}$-espace vectoriel est donc une forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique définie positive.

Exemples:
$ \bullet\ $Le produit scalaire euclidien canonique sur $ \mathbb{R}^n$ est défini par

$\displaystyle (x\vert y)=\sum_{i\in[1,n]} x_i.y_i.$

$ \bullet\ $Le produit scalaire euclidien canonique sur le sous-ensemble de $ \mathbb{R}^\mathbb{N}$ des suites sommables (i.e. des $ (u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ telles que $ \sum_{n\in \mathbb{N}} \vert u_n\vert$ converge) est défini par

$\displaystyle <(u_n)_{n\in \mathbb{N}}\vert(v_n)_{n\in \mathbb{N}}>=\sum_{n\in \mathbb{N}} u_n.v_n.$

Il est important de rappeler le théorème [*] et le corollaire [*]. Ils stipulent que:
$ \bullet\ $ $ <x\vert y>^2 \leq <x\vert x>.<y\vert y>$ (inégalité de Schwartz)
$ \bullet\ $ $ \vert<x\vert y>\vert \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}$ (inégalité de Schwartz, en passant à la racine)
$ \bullet\ $ $ {\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}$ (inégalité de Minkowski = inégalité triangulaire)
$ \bullet\ $Le produit scalaire est continu (conséquence de Schwartz)

Attention! La notation $ <x\vert y>$ peut être remplacée par $ (x\vert y)$, $ <x,y>$, $ (x,y)$, ou même $ x.y$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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