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Espaces préhilbertiens complexes

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Espaces préhilbertiens complexes

Définition Une application d'un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel dans un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel est dite semi-linéaire si
$\bullet\$ $\forall (x,y)\in E^2\ f(x+y)=f(x)+f(y)$
$\bullet\$ $\forall (x,{\lambda})\in E\times \mathbb{C}\ f({\lambda}.x)=\overline {\lambda}f(x)$

Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.

Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d'un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel dans $\mathbb{C}$ .

Etant donnés et des $\mathbb{C}$ -espace vectoriel une application $\phi$ de $E \times F$ est dite forme sesquilinéaire sur $E \times F$ si
$\bullet\$ $\forall x$ l'application $y\mapsto \phi(x,y)$ est une forme linéaire sur
$\bullet\$ $\forall y$ l'application $x\mapsto \phi(x,y)$ est une forme semi-linéaire sur

Une forme sesquilinéaire sur $E\times E$ est dite hermitienne lorsque en outre $\forall (x,y) \in E^2\ \phi(x,y)=\overline {\phi(y,x)}$ .

Une forme sesquilinéaire hermitienne $\phi$ sur est dite produit scalaire hermitien sur si $\forall x \in E\setminus\{0\} \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}^+_*$ . On note généralement alors $<x\vert y>=\phi(x,y)$

Etant donné un produit scalaire hermitien $<.\vert.>$ , on définit une norme hermitienne; il s'agit de l'application $x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x\vert x>}$ . On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme.

On appelle espace préhilbertien complexe un $\mathbb{C}$ -espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien complexe muni d'un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à , est appelée sous-espace préhilbertien de (c'est un espace préhilbertien).

On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie.

La notation $<x\vert y>$ peut être remplacée par $(x\vert y)$ , , , ou même .

Remarquons que le fait que pour une forme sesquilinéaire hermitienne $\phi$ on ait $\forall x \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}$ découle du fait que $\phi$ est hermitienne; il suffit de vérifier que $\phi(x,x)>0$ .

Une forme linéaire n'est pas nécéssairement une forme semi-linéaire

Une forme semi-linéaire n'est pas nécéssairement une forme linéaire

Une forme sesquilinéaire est donc semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la seconde.

Exemples: Sur $\mathbb{C}^n$ le produit scalaire hermitien canonique est défini par $<x\vert y>=\sum_{i=1..n} \overline {x_i}.y_i$ .

Les inégalités de Schwartz et de Minkowski montrées dans la partie sont valables ici aussi; mais la démonstration, basée sur la bilinéarité et utilisant les formes quadratiques, n'est plus valable.

Lemme [Egalité utile]

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}^2={\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y{\parallel}^2+2.Re(<x\vert y>)$

avec

la partie réelle de

Démonstration: Evidente, en utilisant $<x\vert y>=\overline {<y\vert x>}$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwartz] Dans un espace préhilbertien complexe

$\displaystyle \forall (x,y) \in E^2\ \vert<x\vert y>\vert \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}$

Il y a égalité si et seulement si la famille est liée

Démonstration: Soit $\theta$ l'argument de $<x\vert y>$ , alors pour tout réel, au vu du lemme :

$\displaystyle {\parallel}t.e^{i\theta}.x+y {\parallel}^2 =t^2.{\parallel}x {\parallel}^2 + {\parallel}y {\parallel}^2 + 2.t.\vert<y\vert x>\vert$

On en déduit donc que le discriminant de $t\mapsto t^2.{\parallel}x {\parallel}^2 + {\parallel}y {\parallel}^2 + 2.t.\vert<y\vert x>\vert$ est négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité annoncée. Le cas d'égalité est le cas où le discriminant est nul. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Inégalité de Minkowski] Dans un espace préhilbertien complexe

$\displaystyle \forall (x,y) \in E^2\ {\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}$

Il y a égalité si $y={\lambda}.x$ ou $x={\lambda}.y$ avec ${\lambda}>0$ .

Démonstration: Par le lemme , on a

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}^2={\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y{\parallel}^2+2.Re(<x\vert y>)$

$\displaystyle \leq {\parallel}x {\parallel}^2 + {\parallel}y {\parallel}^2 + 2.\vert<x\vert y>\vert$

(par Cauchy-Schwartz ci-dessus)

$\displaystyle =({\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel})^2$

D'où le résultat. Le cas d'égalité se montre facilement... $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition Dans le cas euclidien, retrouver le produit scalaire à partir de la norme était facile; dans le cas hermitien c'est un peu plus compliqué:

$\displaystyle <x\vert y>=\frac14 ({\parallel}x+y {\parallel}^2 - {\parallel}x -... ...allel}^2 -i {\parallel}x + i.y {\parallel}^2 + i.{\parallel}x-i.y{\parallel}^2)$

$\displaystyle =\frac14(\sum_{n=0}^3 e^{-2.i.\pi.n/4}{\parallel}x+e^{2.i.\pi.n/4}.y {\parallel})$

La dernière ligne est un bon moyen mnémotechnique, mais il faut bien penser que l'on a un signe moins dans le coefficient de l'exponentiel en dehors de ${\parallel}.{\parallel}$ et un signe plus à l'intérieur.