Définition
Une application d'un
-espace vectoriel dans un
-espace vectoriel est dite semi-linéaire si
Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.
Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d'un
-espace vectoriel dans
.
Etant donnés et des
-espace vectoriel une application de
est dite forme sesquilinéaire sur si
l'application
est une forme linéaire sur l'application
est une forme semi-linéaire sur
Une forme sesquilinéaire sur est dite hermitienne lorsque en outre
.
Une forme sesquilinéaire hermitienne sur est dite produit scalaire hermitien sur si
. On note généralement alors
Etant donné un produit scalaire hermitien , on définit une norme hermitienne; il s'agit de l'application
. On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme.
On appelle espace préhilbertien complexe un
-espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien.
Un sous-espace vectoriel d'un espace préhilbertien complexe muni d'un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à , est appelée sous-espace préhilbertien de (c'est un espace préhilbertien).
On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie.
La notation peut être remplacée par , , , ou même .
Remarquons que le fait que pour une forme sesquilinéaire hermitienne on ait
découle du fait que est hermitienne; il suffit de vérifier que
.
Une forme linéaire n'est pas nécéssairement une forme semi-linéaire
Une forme semi-linéaire n'est pas nécéssairement une forme linéaire
Une forme sesquilinéaire est donc semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la seconde.
Exemples:Sur
le produit scalaire hermitien canonique est défini par
.
Les inégalités de Schwartz et de Minkowski montrées dans la partie sont valables ici aussi; mais la démonstration, basée sur la bilinéarité et utilisant les formes quadratiques, n'est plus valable.
Lemme [Egalité utile]
avec la partie réelle de .
Démonstration:Evidente, en utilisant
.
Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwartz]
Dans un espace préhilbertien complexe
Il y a égalité si et seulement si la famille est liée.
Démonstration:
Soit l'argument de , alors pour tout réel, au vu du lemme :
On en déduit donc que le discriminant de
est négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité annoncée. Le cas d'égalité est le cas où le discriminant est nul.
Corollaire [Inégalité de Minkowski]
Dans un espace préhilbertien complexe
Il y a égalité si
ou
avec
.
Démonstration:Par le lemme , on a
(par Cauchy-Schwartz ci-dessus)
D'où le résultat. Le cas d'égalité se montre facilement...
Proposition
Dans le cas euclidien, retrouver le produit scalaire à partir de la norme était
facile; dans le cas hermitien c'est un peu plus compliqué:
La dernière ligne est un bon moyen mnémotechnique, mais il faut bien penser que l'on a un signe moins dans le coefficient de l'exponentiel en dehors de
et un signe plus à l'intérieur.