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Espaces préhilbertiens complexes

Définition Une application d'un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel $ E$ dans un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel $ F$ est dite semi-linéaire si
$ \bullet\ $ $ \forall (x,y)\in E^2\ f(x+y)=f(x)+f(y)$
$ \bullet\ $ $ \forall (x,{\lambda})\in E\times \mathbb{C}\ f({\lambda}.x)=\overline {\lambda}f(x)$

Une application semi-linéaire est un semi-isomorphisme si et seulement si elle est semi-linéaire et bijective.

Une forme semi-linéaire est une application semi-linéaire d'un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel dans $ \mathbb{C}$.

Etant donnés $ E$ et $ F$ des $ \mathbb{C}$-espace vectoriel une application $ \phi$ de $ E \times F$ est dite forme sesquilinéaire sur $ E \times F$ si
$ \bullet\ $$ \forall x$ l'application $ y\mapsto \phi(x,y)$ est une forme linéaire sur $ F$
$ \bullet\ $$ \forall y$ l'application $ x\mapsto \phi(x,y)$ est une forme semi-linéaire sur $ E$

Une forme sesquilinéaire sur $ E\times E$ est dite hermitienne lorsque en outre $ \forall (x,y) \in E^2\ \phi(x,y)=\overline {\phi(y,x)}$.

Une forme sesquilinéaire hermitienne $ \phi$ sur $ E^2$ est dite produit scalaire hermitien sur $ E$ si $ \forall x \in E\setminus\{0\} \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}^+_*$. On note généralement alors $ <x\vert y>=\phi(x,y)$

Etant donné un produit scalaire hermitien $ <.\vert.>$, on définit une norme hermitienne; il s'agit de l'application $ x \mapsto {\parallel}x {\parallel}= \sqrt{<x\vert x>}$. On verra plus loin qu'il s'agit d'une norme.

On appelle espace préhilbertien complexe un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel muni d'un produit scalaire hermitien. Un sous-espace vectoriel $ F$ d'un espace préhilbertien complexe $ E$ muni d'un produit scalaire hermitien, muni de la restriction du produit scalaire hermitien à $ F$, est appelée sous-espace préhilbertien de $ E$ (c'est un espace préhilbertien).

Attention! On n'a à aucun moment imposé que la dimension soit finie.

Attention! La notation $ <x\vert y>$ peut être remplacée par $ (x\vert y)$, $ <x,y>$, $ (x,y)$, ou même $ x.y$.

Remarquons que le fait que pour une forme sesquilinéaire hermitienne $ \phi$ on ait $ \forall x \ \phi(x,x) \in \mathbb{R}$ découle du fait que $ \phi$ est hermitienne; il suffit de vérifier que $ \phi(x,x)>0$.

Attention! Une forme linéaire n'est pas nécéssairement une forme semi-linéaire

Attention! Une forme semi-linéaire n'est pas nécéssairement une forme linéaire

Une forme sesquilinéaire est donc semi-linéaire par rapport à la première variable et linéaire par rapport à la seconde.

Exemples: Sur $ \mathbb{C}^n$ le produit scalaire hermitien canonique est défini par $ <x\vert y>=\sum_{i=1..n} \overline {x_i}.y_i$.

Les inégalités de Schwartz et de Minkowski montrées dans la partie[*] sont valables ici aussi; mais la démonstration, basée sur la bilinéarité et utilisant les formes quadratiques, n'est plus valable.

Lemme [Egalité utile]

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}^2={\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y{\parallel}^2+2.Re(<x\vert y>)$

avec $ Re(u)$ la partie réelle de $ u$.

Démonstration: Evidente, en utilisant $ <x\vert y>=\overline {<y\vert x>}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwartz] Dans un espace préhilbertien complexe

$\displaystyle \forall (x,y) \in E^2\ \vert<x\vert y>\vert \leq {\parallel}x {\parallel}. {\parallel}y {\parallel}$

Il y a égalité si et seulement si la famille est liée.

Démonstration: Soit $ \theta$ l'argument de $ <x\vert y>$, alors pour tout $ t$ réel, au vu du lemme [*]:

$\displaystyle {\parallel}t.e^{i\theta}.x+y {\parallel}^2 =t^2.{\parallel}x {\parallel}^2 + {\parallel}y {\parallel}^2 + 2.t.\vert<y\vert x>\vert$

On en déduit donc que le discriminant de $ t\mapsto t^2.{\parallel}x {\parallel}^2 + {\parallel}y {\parallel}^2 + 2.t.\vert<y\vert x>\vert$ est négatif ou nul, ce qui donne l'inégalité annoncée. Le cas d'égalité est le cas où le discriminant est nul.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire [Inégalité de Minkowski] Dans un espace préhilbertien complexe

$\displaystyle \forall (x,y) \in E^2\ {\parallel}x+y {\parallel}\leq {\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel}$

Il y a égalité si $ y={\lambda}.x$ ou $ x={\lambda}.y$ avec $ {\lambda}>0$.

Démonstration: Par le lemme [*], on a

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}^2={\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y{\parallel}^2+2.Re(<x\vert y>)$

$\displaystyle \leq {\parallel}x {\parallel}^2 + {\parallel}y {\parallel}^2 + 2.\vert<x\vert y>\vert$

(par Cauchy-Schwartz ci-dessus)

$\displaystyle =({\parallel}x {\parallel}+ {\parallel}y {\parallel})^2$

D'où le résultat. Le cas d'égalité se montre facilement... $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Dans le cas euclidien, retrouver le produit scalaire à partir de la norme était facile; dans le cas hermitien c'est un peu plus compliqué:

$\displaystyle <x\vert y>=\frac14 ({\parallel}x+y {\parallel}^2 - {\parallel}x -...
...allel}^2 -i {\parallel}x + i.y {\parallel}^2 + i.{\parallel}x-i.y{\parallel}^2)$

$\displaystyle =\frac14(\sum_{n=0}^3 e^{-2.i.\pi.n/4}{\parallel}x+e^{2.i.\pi.n/4}.y {\parallel})$


Attention! La dernière ligne est un bon moyen mnémotechnique, mais il faut bien penser que l'on a un signe moins dans le coefficient de l'exponentiel en dehors de $ {\parallel}.{\parallel}$ et un signe plus à l'intérieur.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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