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Espaces préhilbertiens

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Espaces préhilbertiens

On se place ici dans le cadre de espace préhilbertien, réel ou complexe. On ne suppose absolument pas de dimension finie.

Définition et appartenant à sont dits orthogonaux si $<x\vert y>=<y\vert x>=0$ .

Deux parties et de sont dites orthogonales si et sont orthogonaux pour tout dans $X\times Y$ .

On appelle orthogonal d'une partie et on note $X^\bot$ l'ensemble des tels que $<x\vert y>=0$ pour tout dans .

Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthogonale si $i\not=j \to <x_i\vert x_j>=0$ .

Une famille $(x_i)_{i\in I}$ est dite orthonormale si $<x_i\vert x_j>=\partial _{i,j}$ .

Remarques:
$\bullet\$ $<x\vert y>=0 \iff <y\vert x>=0$
$\bullet\$ toute partie est orthogonale à son orthogonal
$\bullet\$ Etant donné un sous-espace vectoriel de , la somme de et de $F^\bot$ est toujours directe, mais non nécéssairement égale à
$\bullet\$ Pour toute partie , $X^\bot$ est un sous-espace vectoriel fermé de (car c'est une intersection de fermés, par définition)

Ne pas confondre "être orthogonal à" et "être l'orthogonal de".

Proposition Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Démonstration: Supposons donnée une combinaison linéaire nulle $\sum_i {\lambda}_i x_i$ , et considérons le produit scalaire avec $x_{i_0}$ . On en déduit immédiatement que ${\lambda}_{i_0}$ est nul. D'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition [Orthogonalité et espaces supplémentaires] $\bullet\$ Si et sont supplémentaires, alors et sont orthogonaux si et seulement si est l'orthogonal de .
$\bullet\$ Si et $F^\bot$ sont supplémentaires, alors ${F^\bot}^\bot=F$ .

Démonstration: En exercice! $\sqcap$ $\sqcup$

On va maintenant considérer quelques résultats de géométrie:

Théorème [Théorème de Pythagore] $\bullet\$ Si les sont une famille finie orthogonale alors ${\parallel}\sum_i x_i {\parallel}^2=\sum_i {\parallel}x {\parallel}^2$ .

Démonstration: Evident par récurrence. $\sqcap$ $\sqcup$

On note que dans le cas d'un espace préhilbertien réel, ${\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y {\parallel}^2={\parallel}x +y {\parallel}$ équivaut à et orthogonaux.

Pas valable dans le cas complexe!

Proposition [Quelques résultats de géométrie] $\bullet\$ Formule du triangle :

$\displaystyle {\parallel}y-z {\parallel}^2={\parallel}y-x {\parallel}^2+{\parallel}z-x {\parallel}-2.Re(<z-x\vert y-x>)$

$\bullet\$ Formule de la médiane :

$\displaystyle {\parallel}y-z {\parallel}^2 + 4 {\parallel}x- \frac12 (y+z) {\parallel}^2 = 2.{\parallel}x-y {\parallel}^2 +2.{\parallel}x-z {\parallel}^2$

$\bullet\$ Formule du triangle pour un espace préhilbertien réel

$\displaystyle {\parallel}y-z {\parallel}^2={\parallel}y-x {\parallel}^2+{\parallel}z-x {\parallel}-2<z-x\vert y-x>$

$\bullet\$ Formule du parallélogramme, pour un espace préhilbertien réel:

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}^2 + {\parallel}x-y {\parallel}^2=2({\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y {\parallel}^2)$

Démonstration: Facile, facile; il suffit de développer. Illustration en figure . $\sqcap$ $\sqcup$

**Figure:** Illustrations de la formule de la médiane, du parallélogramme. Les coefficients attribués servent de moyen mnémotechnique; en sommant les carrés des longueurs indiquées, pondérées par leur coefficient, on obtient zéro.
$\begin{figure}\begin{displaymath} \epsfxsize =12cm \epsfbox{geomet.eps}\end{displaymath}\end{figure}$

Théorème $\bullet\$ Dans un espace préhilbertien de dimension finie, tout sous-espace vectoriel est supplémentaire à son orthogonal, ie $E=F \oplus F^\bot$ . On a alors $dim\ E=dim\ F+dim\ F^\bot$ .

$\bullet\$ Tout espace préhilbertien de dimension finie admet une base orthonormale.

$\bullet\$ Dans un espace préhilbertien de dimension finie, toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.

$\bullet\$ Si est un sous-espace vectoriel de , avec espace préhilbertien, et est de dimension finie, alors on a $E=F \oplus F^\bot$ .

Démonstration: Pour le premier $\bullet\$ , on considère l'application qui à dans associe $(<u_1\vert x>,<u_2\vert x>,<u_3\vert x>,...,<u_p\vert x>)$ . Le noyau est $F^\bot$ , le rang est $\leq$ à la dimension de . Donc $dim\ F^\bot \geq dim\ E-dim\ F$ , donc $E=F \oplus F^\bot$ (rappelons qu'il est toujours vrai que $F\cap F^\bot=\{0\}$ ). On a donc bien $dim\ F^\bot + dim\ F = dim\ E$ .

Pour le second $\bullet\$ , on raisonne par récurrence. Pour préhilbertien de dimension $\leq 1$ , le résultat est évident. Il suffit ensuite de considérer un vecteur quelconque de de norme , et une base $(e_1,...,e_{n-1})$ de $(\mathbb{K}.u)^\bot$ . convient.

Le troisième $\bullet\$ est immédiat; il suffit de considérer engendré par la famille orthonormale considérée, et une base $(e_{p+1},...,e_n)$ de $F^\bot$ , réunie en , base orthonormale de .