Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
150 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan

Les maths pour l'agreg

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Espaces préhilbertiens next up previous index
suivant: Espaces de Hilbert monter: Espaces préhilbertiens et espaces précédent: Espaces préhilbertiens complexes   Index

Espaces préhilbertiens

On se place ici dans le cadre de $ E$ espace préhilbertien, réel ou complexe. On ne suppose absolument pas $ E$ de dimension finie.

Définition $ x$ et $ y$ appartenant à $ E$ sont dits orthogonaux si $ <x\vert y>=<y\vert x>=0$.

Deux parties $ X$ et $ Y$ de $ E$ sont dites orthogonales si $ x$ et $ y$ sont orthogonaux pour tout $ (x,y)$ dans $ X\times Y$.

On appelle orthogonal d'une partie $ X$ et on note $ X^\bot$ l'ensemble des $ y$ tels que $ <x\vert y>=0$ pour tout $ x$ dans $ X$.

Une famille $ (x_i)_{i\in I}$ est dite orthogonale si $ i\not=j \to <x_i\vert x_j>=0$.

Une famille $ (x_i)_{i\in I}$ est dite orthonormale si $ <x_i\vert x_j>=\partial _{i,j}$.

Remarques:
$ \bullet\ $ $ <x\vert y>=0 \iff <y\vert x>=0$
$ \bullet\ $toute partie est orthogonale à son orthogonal
$ \bullet\ $Etant donné $ F$ un sous-espace vectoriel de $ E$, la somme de $ F$ et de $ F^\bot$ est toujours directe, mais non nécéssairement égale à $ E$
$ \bullet\ $Pour toute partie $ X$, $ X^\bot$ est un sous-espace vectoriel fermé de $ E$ (car c'est une intersection de fermés, par définition)

Attention! Ne pas confondre "être orthogonal à" et "être l'orthogonal de".

Proposition Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre.

Démonstration: Supposons donnée une combinaison linéaire nulle $ \sum_i {\lambda}_i x_i$, et considérons le produit scalaire avec $ x_{i_0}$. On en déduit immédiatement que $ {\lambda}_{i_0}$ est nul. D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Orthogonalité et espaces supplémentaires] $ \bullet\ $Si $ F$ et $ G$ sont supplémentaires, alors $ F$ et $ G$ sont orthogonaux si et seulement si $ G$ est l'orthogonal de $ F$.
$ \bullet\ $Si $ F$ et $ F^\bot$ sont supplémentaires, alors $ {F^\bot}^\bot=F$.

Démonstration: En exercice!$ \sqcap$$ \sqcup$

On va maintenant considérer quelques résultats de géométrie:

Théorème [Théorème de Pythagore] $ \bullet\ $Si les $ x_i$ sont une famille finie orthogonale alors $ {\parallel}\sum_i x_i {\parallel}^2=\sum_i {\parallel}x {\parallel}^2$.

Démonstration: Evident par récurrence.$ \sqcap$$ \sqcup$

On note que dans le cas d'un espace préhilbertien réel, $ {\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y {\parallel}^2={\parallel}x +y {\parallel}$ équivaut à $ x$ et $ y$ orthogonaux.

Attention! Pas valable dans le cas complexe!

Proposition [Quelques résultats de géométrie] $ \bullet\ $Formule du triangle :

$\displaystyle {\parallel}y-z {\parallel}^2={\parallel}y-x {\parallel}^2+{\parallel}z-x {\parallel}-2.Re(<z-x\vert y-x>)$

$ \bullet\ $Formule de la médiane :

$\displaystyle {\parallel}y-z {\parallel}^2 + 4 {\parallel}x- \frac12 (y+z) {\parallel}^2 = 2.{\parallel}x-y {\parallel}^2 +2.{\parallel}x-z {\parallel}^2$

$ \bullet\ $Formule du triangle pour un espace préhilbertien réel:

$\displaystyle {\parallel}y-z {\parallel}^2={\parallel}y-x {\parallel}^2+{\parallel}z-x {\parallel}-2<z-x\vert y-x>$

$ \bullet\ $Formule du parallélogramme, pour un espace préhilbertien réel:

$\displaystyle {\parallel}x+y {\parallel}^2 + {\parallel}x-y {\parallel}^2=2({\parallel}x {\parallel}^2+{\parallel}y {\parallel}^2)$


Démonstration: Facile, facile; il suffit de développer. Illustration en figure [*].$ \sqcap$$ \sqcup$

Figure: Illustrations de la formule de la médiane, du parallélogramme. Les coefficients attribués servent de moyen mnémotechnique; en sommant les carrés des longueurs indiquées, pondérées par leur coefficient, on obtient zéro.
\begin{figure}\begin{displaymath}
\epsfxsize =12cm
\epsfbox{geomet.eps}\end{displaymath}\end{figure}

Théorème $ \bullet\ $Dans un espace préhilbertien $ E$ de dimension finie, tout sous-espace vectoriel $ F$ est supplémentaire à son orthogonal, ie $ E=F \oplus F^\bot$. On a alors $ dim\ E=dim\ F+dim\ F^\bot$.

$ \bullet\ $Tout espace préhilbertien de dimension finie admet une base orthonormale.

$ \bullet\ $Dans un espace préhilbertien de dimension finie, toute famille orthonormale peut être complétée en une base orthonormale.

$ \bullet\ $Si $ F$ est un sous-espace vectoriel de $ E$, avec $ E$ espace préhilbertien, et $ F$ est de dimension finie, alors on a $ E=F \oplus F^\bot$.

Démonstration: Pour le premier $ \bullet\ $, on considère l'application $ f$ qui à $ x$ dans $ E$ associe $ (<u_1\vert x>,<u_2\vert x>,<u_3\vert x>,...,<u_p\vert x>)$. Le noyau est $ F^\bot$, le rang est $ \leq$ à la dimension de $ F$. Donc $ dim\ F^\bot \geq dim\ E-dim\ F$, donc $ E=F \oplus F^\bot$ (rappelons qu'il est toujours vrai que $ F\cap F^\bot=\{0\}$). On a donc bien $ dim\ F^\bot + dim\ F = dim\ E$.

Pour le second $ \bullet\ $, on raisonne par récurrence. Pour $ E$ préhilbertien de dimension $ \leq 1$, le résultat est évident. Il suffit ensuite de considérer un vecteur quelconque $ e_n$ de $ E$ de norme $ 1$, et une base $ (e_1,...,e_{n-1})$ de $ (\mathbb{K}.u)^\bot$. $ (e_1,...,e_n)$ convient.

Le troisième $ \bullet\ $est immédiat; il suffit de considérer $ F$ engendré par la famille orthonormale $ (e_1,...,e_p)$ considérée, et une base $ (e_{p+1},...,e_n)$ de $ F^\bot$, réunie en $ (e_1,...,e_n)$, base orthonormale de $ E$.

Le quatrième $ \bullet\ $est un peu plus long:

- on considère une base $ (e_1,...,e_p)$ orthonormale de $ F$.

- on considère l'application $ f$ qui à $ x$ associe $ \sum_{i=1^p} <e_i\vert x>e_i$.

- $ \forall x\in E\ x=\underbrace{f(x)}_{\in F}+\underbrace{(x-f(x))}_{\in F^\bot}$

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$


next up previous index
suivant: Espaces de Hilbert monter: Espaces préhilbertiens et espaces précédent: Espaces préhilbertiens complexes   Index
C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page