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Projection dans un espace de Hilbert

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Projection dans un espace de Hilbert

Définition Soit un espace de Hilbert, et une partie convexe fermée non vide de . Alors étant donné appartenant à on appelle projeté de sur un élément de tel que ${\parallel}x-y {\parallel}$ soit minimal, c'est-à-dire $y=argmin_{z\in E} {\parallel}z-x {\parallel}$ .
Un isomorphisme d'espaces de Hilbert est un isomorphisme entre les espaces vectoriels sous-jacents qui préserve la norme et le produit scalaire.

Théorème Le projeté de sur existe et est unique, et dans est le projeté de sur si et seulement si pour tout dans $Re(<e-y\vert x-y>) \leq 0$ .

Il est clair que dans le cas d'un espace de Hilbert réel, on pourrait simplement formuler $<e-y \vert x-y><0$ .

Démonstration: $\bullet\$ Existence d'un projeté de sur .
On se donne une suite telle que ${\parallel}x-y_n{\parallel}$ tende vers la distance entre et .
Par la formule de la médiane appliquée aux points , et , on a alors

$\displaystyle {\parallel}y_m-y_n {\parallel}^2=2.({\parallel}x-y_n {\parallel}^... ...arallel}x-y_m {\parallel}^2) - 4.{\parallel}x- \frac 12 (y_n+y_m) {\parallel}^2$

par convexité de

on a alors $\frac 12 (y_n+y_m) \in E$ et donc

$\displaystyle {\parallel}x- \frac 12 (y_n+y_m) {\parallel}^2 \geq d^2$

et donc

$\displaystyle {\parallel}y_m-y_n{\parallel}^2 \to 0$

Donc la suite

est de Cauchy

, donc par complétude de

elle converge. Sa limite

est dans

parce que

est fermé

.
$\bullet\$ Supposons que

est dans

et que pour tout

dans

$Re(<y-e\vert y-x>)\leq 0$ . Alors pour tout

dans

on a

$\displaystyle {\parallel}x-e {\parallel}^2 = {\parallel}x - y {\parallel}^2 + {\parallel}e - y {\parallel}^2 - 2.Re(<e-y \vert x - y>)$

On obtient d'un coup d'un seul que

est la borne inf, et que

est unique (car s'il y a égalité, ${\parallel}e - y {\parallel}=0$ ).
$\bullet\$ Supposons maintenant que

soit un projeté de

sur

, et montrons que $Re(<e-y\vert x-y>) \leq 0$ pour tout

dans

.
On a:

$\displaystyle {\parallel}x-e {\parallel}^2 = {\parallel}x - y {\parallel}^2 + {\parallel}e - y {\parallel}^2 - 2.Re(<e-y \vert x - y>)$

et donc

$\displaystyle Re(<e-y \vert x - y>) = \frac12 ({\parallel}x-e {\parallel}^2 - {\parallel}x - y {\parallel}^2 + {\parallel}e - y {\parallel}^2)$

par définition de

, on a ${\parallel}x-e {\parallel}^2 - {\parallel}x - y {\parallel}^2 \leq 0$ , et donc

$\displaystyle Re(<e-y \vert x - y>) \leq \frac12 ( {\parallel}e-y {\parallel}^2 )$

valable pour tout

.
On se donne maintenant

dans

, et on considère

. L'inégalité précédente s'écrit alors

$\displaystyle Re(<t.z-t.y\vert x-y>) \leq \frac12 ( {\parallel}t.z-t.y {\parallel}^2 )$

et donc

$\displaystyle Re(<z-y \vert x-y >) \leq \frac t2 {\parallel}z-y {\parallel}$

En faisant tendre

vers 0, on en déduit

$\displaystyle Re(<z-y \vert x-y >) \leq 0$

La preuve est ainsi complète. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Dans tout ensemble non vide fermé convexe il existe un unique élément de norme minimale.

Proposition $\bullet\$ Le projeté de sur un sous-espace vectoriel fermé (qui est évidemment convexe) est le point tel que est orthogonal à pour tout dans .
$\bullet\$ Soit $(x_i)_{i \in [1,n]}$ une famille orthonormale; alors l'espace vectoriel engendré par les est fermé (car il y en a un nombre fini, voir le corollaire ), convexe. La projection sur ce sous-espace vectoriel de est l'application qui à associe $\sum_{i\in [1,n]} <x_i\vert x>.x_i$ .
On a alors ${\parallel}x {\parallel}^2 = \sum_i \vert<x_i\vert x>\vert^2 + {\parallel}x - y {\parallel}^2$ avec $y=\sum_{i\in [1,n]} <x_i\vert x>.x_i$ .
$\bullet\$ ${\parallel}x {\parallel}^2 \geq \sum_i <x_i\vert x>^2$ (inégalité de Bessel).

Démonstration: Exercice facile, utilisant les résultats que l'on vient de voir dans le théorème précédent... $\sqcap$ $\sqcup$

Définition Soit un sous-espace vectoriel fermé de . On appelle projection orthogonale sur l'application qui à dans associe son projeté sur ; il s'agit d'un projecteur, et la symétrie associée à ce projecteur est appelée symétrie orthogonale par rapport à (voir ).