Définition
Soit un espace de Hilbert, et une partie convexe fermée non vide de .
Alors étant donné appartenant à on appelle projeté de
sur un élément de tel que
soit minimal, c'est-à-dire
.
Un isomorphisme d'espaces de Hilbert est un isomorphisme entre les espaces vectoriels sous-jacents
qui préserve la norme et le produit scalaire.
Théorème
Le projeté de sur existe et est unique, et dans est le projeté de sur si et seulement si pour tout dans .
Il est clair que dans le cas d'un espace de Hilbert réel, on pourrait
simplement formuler
.
Démonstration:Existence d'un projeté de sur .
On se donne une suite telle que
tende vers la distance
entre et .
Par la formule de la médiane appliquée aux points , et , on
a alors
par convexité de on a alors
et donc
et donc
Donc la suite est de Cauchy, donc par complétude de elle converge. Sa limite
est dans parce que est fermé.
Supposons que est dans et que pour tout dans . Alors pour tout dans on a
On obtient d'un coup d'un seul que est la borne inf, et que
est unique (car s'il y a égalité,
).
Supposons maintenant que soit un projeté de sur , et montrons
que
pour tout dans .
On a:
et donc
par définition de , on a
, et donc
valable pour tout .
On se donne maintenant dans , et on considère
.
L'inégalité précédente s'écrit alors
et donc
En faisant tendre vers 0, on en déduit
La preuve est ainsi complète.
Corollaire
Dans tout ensemble non vide fermé convexe il existe un unique élément de norme minimale.
PropositionLe projeté de sur un sous-espace vectoriel fermé (qui est évidemment convexe) est le point tel que est orthogonal à pour tout dans .
Soit
une famille orthonormale; alors l'espace vectoriel engendré par les est fermé (car il y en a un nombre fini, voir le corollaire ), convexe. La projection sur ce sous-espace vectoriel de est l'application qui à associe
.
On a alors
avec
.
(inégalité de Bessel).
Démonstration:Exercice facile, utilisant les résultats que l'on vient de voir dans le théorème précédent...
Définition
Soit un sous-espace vectoriel fermé de . On appelle projection orthogonale sur l'application
qui à dans associe son projeté sur ; il s'agit d'un projecteur, et la
symétrie associée à ce projecteur est appelée symétrie orthogonale par
rapport à (voir).
La projection orthogonale sur est en fait la projection sur suivant .