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Projection dans un espace de Hilbert

Définition Soit $ H$ un espace de Hilbert, et $ E$ une partie convexe fermée non vide de $ H$. Alors étant donné $ x$ appartenant à $ H$ on appelle projeté de $ x$ sur $ E$ un élément $ y$ de $ E$ tel que $ {\parallel}x-y {\parallel}$ soit minimal, c'est-à-dire $ y=argmin_{z\in E} {\parallel}z-x {\parallel}$.
Un isomorphisme d'espaces de Hilbert est un isomorphisme entre les espaces vectoriels sous-jacents qui préserve la norme et le produit scalaire.

Théorème Le projeté de $ x$ sur $ E$ existe et est unique, et $ y$ dans $ E$ est le projeté de $ x$ sur $ E$ si et seulement si pour tout $ e$ dans $ E$ $ Re(<e-y\vert x-y>) \leq 0$.

Il est clair que dans le cas d'un espace de Hilbert réel, on pourrait simplement formuler $ <e-y \vert x-y><0$.

Démonstration: $ \bullet\ $Existence d'un projeté de $ x$ sur $ E$.
On se donne une suite $ y_n$ telle que $ {\parallel}x-y_n{\parallel}$ tende vers la distance $ d$ entre $ x$ et $ E$.
Par la formule de la médiane appliquée aux points $ y_n$, $ y_m$ et $ x$, on a alors

$\displaystyle {\parallel}y_m-y_n {\parallel}^2=2.({\parallel}x-y_n {\parallel}^...
...arallel}x-y_m {\parallel}^2) - 4.{\parallel}x- \frac 12 (y_n+y_m) {\parallel}^2$

par convexité de $ E$ on a alors $ \frac 12 (y_n+y_m) \in E$ et donc

$\displaystyle {\parallel}x- \frac 12 (y_n+y_m) {\parallel}^2 \geq d^2$

et donc

$\displaystyle {\parallel}y_m-y_n{\parallel}^2 \to 0$

Donc la suite $ y_n$ est de Cauchy, donc par complétude de $ H$ elle converge. Sa limite $ y$ est dans $ E$ parce que $ E$ est fermé.
$ \bullet\ $Supposons que $ y$ est dans $ E$ et que pour tout $ e$ dans $ E$ $ Re(<y-e\vert y-x>)\leq 0$. Alors pour tout $ e$ dans $ E$ on a

$\displaystyle {\parallel}x-e {\parallel}^2 = {\parallel}x - y {\parallel}^2 + {\parallel}e - y {\parallel}^2 - 2.Re(<e-y \vert x - y>)$

On obtient d'un coup d'un seul que $ y$ est la borne inf, et que $ y$ est unique (car s'il y a égalité, $ {\parallel}e - y {\parallel}=0$).
$ \bullet\ $Supposons maintenant que $ y$ soit un projeté de $ x$ sur $ E$, et montrons que $ Re(<e-y\vert x-y>) \leq 0$ pour tout $ e$ dans $ E$.
On a:

$\displaystyle {\parallel}x-e {\parallel}^2 = {\parallel}x - y {\parallel}^2 + {\parallel}e - y {\parallel}^2 - 2.Re(<e-y \vert x - y>)$

et donc

$\displaystyle Re(<e-y \vert x - y>) = \frac12 ({\parallel}x-e {\parallel}^2 - {\parallel}x - y {\parallel}^2 + {\parallel}e - y {\parallel}^2)$

par définition de $ y$, on a $ {\parallel}x-e {\parallel}^2 - {\parallel}x - y {\parallel}^2 \leq 0$, et donc

$\displaystyle Re(<e-y \vert x - y>) \leq \frac12 ( {\parallel}e-y {\parallel}^2 )$

valable pour tout $ e$.
On se donne maintenant $ z$ dans $ E$, et on considère $ e=t.z+(1-t).y$. L'inégalité précédente s'écrit alors

$\displaystyle Re(<t.z-t.y\vert x-y>) \leq \frac12 ( {\parallel}t.z-t.y {\parallel}^2 )$

et donc

$\displaystyle Re(<z-y \vert x-y >) \leq \frac t2 {\parallel}z-y {\parallel}$

En faisant tendre $ t$ vers 0, on en déduit

$\displaystyle Re(<z-y \vert x-y >) \leq 0$

La preuve est ainsi complète.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Dans tout ensemble non vide fermé convexe il existe un unique élément de norme minimale.

Proposition $ \bullet\ $Le projeté de $ x$ sur un sous-espace vectoriel fermé $ E$ (qui est évidemment convexe) est le point $ y$ tel que $ y-x$ est orthogonal à $ e-x$ pour tout $ e$ dans $ E$.
$ \bullet\ $Soit $ (x_i)_{i \in [1,n]}$ une famille orthonormale; alors l'espace vectoriel engendré par les $ x_i$ est fermé (car il y en a un nombre fini, voir le corollaire [*]), convexe. La projection sur ce sous-espace vectoriel de $ H$ est l'application qui à $ x$ associe $ \sum_{i\in [1,n]} <x_i\vert x>.x_i$.
On a alors $ {\parallel}x {\parallel}^2 = \sum_i \vert<x_i\vert x>\vert^2 + {\parallel}x - y {\parallel}^2$ avec $ y=\sum_{i\in [1,n]} <x_i\vert x>.x_i$.
$ \bullet\ $ $ {\parallel}x {\parallel}^2 \geq \sum_i <x_i\vert x>^2$ (inégalité de Bessel).

Démonstration: Exercice facile, utilisant les résultats que l'on vient de voir dans le théorème précédent...$ \sqcap$$ \sqcup$

Définition Soit $ E$ un sous-espace vectoriel fermé de $ H$. On appelle projection orthogonale sur $ E$ l'application qui à $ x$ dans $ H$ associe son projeté sur $ E$; il s'agit d'un projecteur, et la symétrie associée à ce projecteur est appelée symétrie orthogonale par rapport à $ E$ (voir[*]).

La projection orthogonale sur $ E$ est en fait la projection sur $ E$ suivant $ E^\bot$.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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