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Bases hilbertiennes

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Bases hilbertiennes

Définition [Base hilbertienne] On appelle base hilbertienne d'un espace de Hilbert une famille $(x_i)_{i\in I}$ telle que:
$\bullet\$ la famille des est orthonormale
$\bullet\$ pour tout dans $x=\sum_{i\in I} <x_i\vert x> x_i$

La seconde condition est une somme éventuellement infinie, en fait il s'agit d'une famille sommable, i.e. pour tout $\epsilon$ il existe fini inclus dans , tel que pour tout fini compris entre et la somme sur des $<x_i\vert x>.x_i$ est à une distance $< \epsilon$ de .

Théorème $\bullet\$ Une famille orthonormale $(x_i)_{i\in I}$ est une base hilbertienne si et seulement si le sous-espace vectoriel engendré par les est dense dans .
$\bullet\$ (Relation de Parseval) Une famille orthonormale $(x_i)_{i\in I}$ est une base hilbertienne si et seulement si $\sum_{i\in I} \vert<x_i\vert x>\vert^2={\parallel}x {\parallel}^2$ .

La relation du deuxième $\bullet\$ est appelée relation de Parseval.

Démonstration: $\bullet\$ Supposons le sous-espace vectoriel engendré par les dense dans . Alors il existe dans tel que ${\parallel}x-y {\parallel}\leq \epsilon$ , et $y=\sum {\lambda}_i x_i$ . On en déduit que la famille est une base hilbertienne.
$\bullet\$ Si la relation de Parseval est vérifiée, alors le sous-espace vectoriel engendré est dense dans , comme on le voit en considérant une sous-famille de suffisamment vaste.
$\bullet\$ Si on suppose que la famille est une base hilbertienne, alors la relation de Parseval est vérifiée, au vu des résultats de la proposition . $\sqcap$ $\sqcup$

Attention ! Une base hilbertienne n'est pas nécéssairement une base au sens des espaces vectoriels !

Théorème $\bullet\$ Une famille orthonormale $(x_i)_{i\in I}$ est une base hilbertienne si et seulement si pour tout et tout on a $<x\vert y> = \sum_i <x_i\vert x>.<x_i\vert y>$ .
$\bullet\$ Une famille orthonormale $(x_i)_{i\in I}$ est une base hilbertienne si et seulement si elle est maximale pour l'inclusion.

Démonstration: Pas très dur, dans le même style que le théorème précédent, j'ai pas la patience de détailler... $\sqcap$ $\sqcup$

La proposition suivante permet de se ramener à une forme plus "visuelle" des espaces de Hilbert.

Théorème [Riesz-Fischer - Isomorphisme sur un ] Soit un espace de Hilbert, et $(x_i)_{i\in I}$ une base hilbertienne de . Alors l'application $x \mapsto (<x_i\vert x>)_{i \in I}$ est un isomorphisme de sur .

Démonstration: $\bullet\$ L'application $\phi=x \mapsto (<x_i\vert x>)_{i \in I}$ est bien à valeurs dans , vu la relation de Parseval (théorème ).
$\bullet\$ $\phi$ est linéaire, conserve la norme.
$\bullet\$ $\phi$ conservant la norme, $\phi$ est injective.
$\bullet\$ $\phi$ conservant la norme, $\phi$ conserve les distances, et donc son image est un sous-espace vectoriel complet, donc fermé de .
$\bullet\$ $\phi(x_i)$ est la fonction caractéristique du singleton ; or les combinaisons linéaires de ces fonctions sont denses dans , donc $\phi(H)$ est dense.
$\bullet\$ $\phi(H)$ est dense et fermé, donc il est égal à .
$\bullet\$ Le produit scalaire est continu, donc le fait qu'il soit conservé sur les suffit à montrer qu'il est conservé partout. $\sqcap$ $\sqcup$

Un résultat utérieur donnera toute sa puissance à ce résultat, en montrant que tout espace de Hilbert possède une base hilbertienne.
Il ne s'agit pas d'un isomorphisme ramenant tous les espaces de Hilbert possédant une base à un seul, car peut avoir des cardinaux différents.

Lemme Soit un espace de Hilbert . Soit un sous-espace vectoriel fermé de . Si n'est pas égal à , alors il existe dans de norme orthogonal à .

Démonstration: Il suffit de considérer , pour $x \in E^c$ et projeté de sur . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Tout espace de Hilbert possède une base hilbertienne .

Nécéssite l'usage de l'axiome du choix!

Démonstration: On considère l'ensemble des familles orthonormales, munies de l'inclusion. Il s'agit bien d'un ensemble inductif (si l'on considère une chaîne de familles orthonormales, leur réunion est bien un majorant), et donc par le lemme de Zorn (voir le lemme ) il admet un élément maximal. On considère l'adhérence du sous-espace vectoriel engendré par cette famille, et si l'on n'obtient par lui-même, on applique le lemme , et on contredit la maximalité de notre famille orthonormale. $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire [Corollaire des deux théorèmes précédents] Tout espace de Hilbert est isomorphe à pour un certain .

Rappelons que ${\cal L}(E,F)$ désigne l'ensemble des applications linéaires continues de dans , avec et des espaces vectoriels , et que pour un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel on note le dual topologique de , c'est à dire ${\cal L}(E,\mathbb{K})$ .

Théorème Soit un espace de Hilbert réel (resp. complexe). Alors l'application $\phi: H \to H'$ , $x\mapsto \phi(x)=(y\mapsto <x\vert y>)$ est une bijection linéaire (resp. semi-linéaire).

Démonstration: $\bullet\$ La linéarité (resp. semi-linéarité) est claire.
$\bullet\$ L'injectivité n'est pas bien difficile; il suffit de voir que si $\phi(x)=\phi(y)$ , alors pour tout $<x\vert z>=<y\vert z>$ , et on conclut en considérant une base hilbertienne, ou bien en considérant $<x-y\vert x-y>=<x\vert x-y>-<y\vert x-y>=0$ ...
$\bullet\$ La surjectivité est plus intéressante. Soit une forme linéaire continue sur , autre que la forme linéaire nulle. Son noyau est un sous-espace vectoriel fermé de . On considère l'orthogonal de ; et sont en somme directe, car est de codimension en tant que noyau d'une forme linéaire, et est de dimension au moins (voir lemme ), et bien sûr $E\cap F$ . On considère alors dans , non nul, et $x=\frac{f(y)}{{\parallel}y {\parallel}^2}.y$ . On vérifie que $\phi(x)=f$ sur , sur , et donc sur tout entier.

Proposition [Procédé d'orthonormalisation de Schmidt] Etant donnée une famille $(x_i)_{i\in [0,N[}$ avec $N\in \mathbb{N}\cup\{+\infty\}$ libre de ( espace de Hilbert ), il existe une famille $(y_i)_{i\in [0,N[}$ orthonormale telle que le sous-espace vectoriel engendré par $(y_i)_{i\in [1,k]}$ soit égal au sous-espace vectoriel engendré par $(x_i)_{i\in [1,k]}$ pour tout .

Démonstration: Il suffit de procéder comme suit:

$\displaystyle y_0=x_0/{\parallel}x_0 {\parallel}$

et pour

$\displaystyle z_n=x_n-\sum_{i=0..n-1} <y_i\vert x_n>.y_i$

$\displaystyle y_n=z_n/{\parallel}z_n {\parallel}$

Et ça marche tout seul. $\sqcap$ $\sqcup$

Exemple Maple

Ci-dessous une implémentation dans le cadre des polynômes orthogonaux (voir partie ).
$>\ scalaire := (f,g) -> int(f*g,t=0..1);$
$>\ norme := f -> sqrt(scalaire (f,f));$
$>\\ N:=3;x:=array(0..N);\ for\ i\ from\ 0\ by\ 1\ to\ N\ do\ x[i]:=t^i;\ od;\ y:=array(0..N);\ z:=array(0..N);$
$>\ y[0]:=x[0]/norme(x[0]); for\ i\ from\ 1\ by\ 1\ to\ N\ do\ z[i]:=x[i];\ for... ...[i]:=z[i]-scalaire(x[i],y[j])*y[j];\ od;\ y[i]:=simplify(z[i]/norme(z[i])); od;$
$>\ A:=linalg[matrix](N+1,N+1);for\ i\ from\ 0\ by\ 1\ to\ N\ do\ for\ j\ from\ 0\ by\ 1\ to\ N\ do\ A[i+1,j+1]:=simplify(scalaire(y[i],y[j]));od; od;evalm(A);$

$\displaystyle \left[ {\begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}} \right]$

(une partie des réponses de Maple est supprimée par économie de place)

Proposition Si $N<+\infty$ alors la matrice de passage de la base des à la base des est triangulaire de déterminant $\Pi_{i=1..n} <x_i\vert y_i>$ .