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Le cas des matrices carrées: la $ \mathbb{K}$-algèbre $ {\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$

Définition On appelle matrice carrée une matrice de type $ (n,n)$ pour un certain $ n$. On note $ {\cal M}_n(\mathbb{K})={\cal M}_{n,n}(\mathbb{K})$.
On appelle matrice d'un endormophisme $ f$ associée à une base $ B$ la matrice $ Mat_{B,B'}(f)$; on la note aussi $ Mat_B(f)$.
On appelle diagonale d'une matrice carrée $ M$ de type $ (n,n)$ le vecteur $ (M_{1,1},...,M_{i,i},...,M_{n,n})$.
On appelle trace d'une matrice carrée $ M$ la somme $ \sum_{i\in [1,n]} M_{i,i}$. On la note $ tr(M)$. L'application $ M \to tr(M)$ est une application linéaire.
On appelle matrice unité d'ordre $ n$ la matrice $ M$ avec $ M_{i,j}=\partial _{i,j}$. C'est la matrice de l'endomorphisme identité.
On appelle matrice scalaire une matrice égale à $ {\lambda}.I$ avec $ {\lambda}$ un scalaire et $ I$ une matrice unité.
On appelle matrice diagonale associée à un $ n$-uple $ m$ la matrice $ M$ de type $ (n,n)$ définie par $ M_{i,i}=m_i$ et $ M_{i,j}=0$ si $ i\neq j$. On note $ M=diag(m)$.
Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.
Une matrice $ M$ est dite antisymétrique si elle est égale à l'opposée de sa transposée, c'est à dire si $ ^tM=-M$.
Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure si $ j<i \to M_{i,j}=0$
On note $ {\cal T}_n^s$ l'ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d'ordre $ n$.
Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure si $ j>i \to M_{i,j}=0$
On note $ {\cal T}_n^i$ l'ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d'ordre $ n$.

Proposition $ \bullet\ $ $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$ est une $ \mathbb{K}$-algèbre, isomorphe à la $ \mathbb{K}$-algèbre des endomorphismes de $ \mathbb{K}^n$ (ou de $ E$, pour tout $ E$ espace vectoriel de dimension $ n$).
$ \bullet\ $Si $ M$ est inversible, alors sa transposée aussi et $ (^tM)^{-1}=^t(M^{-1})$.
$ \bullet\ $ $ tr(AB)=tr(BA)$ (que $ A$ et $ B$ soient carrées ou non, pourvu que le produit soit carré)
$ \bullet\ $Une matrice est scalaire si et seulement si c'est la matrice associée à un endomorphisme de la forme $ x \mapsto {\lambda}.x$.
$ \bullet\ $L'ensemble des matrices diagonales de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$ est une sous-algèbre commutative de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$.
$ \bullet\ $L'ensemble des matrices symétriques de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$ et l'ensemble des matrices antisymétriques de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$ sont des sous-espaces vectoriels de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$; si $ \mathbb{K}$ n'est pas de caractéristique $ 2$, ils sont supplémentaires; ils sont alors de dimensions respectives $ \frac{n.(n+1)}2$ et $ \frac{n.(n-1)}2$ , engendrés respectivement par les $ E_{i,j}+E_{j,i}$ pour $ i \leq j$ et par les $ E_{i,j}-E_{j,i}$ pour $ i<j$. Toute matrice carrée $ M$ s'écrit $ A+S$, avec $ A$ antisymétrique et $ S$ antisymétriques, avec $ A=\frac12{M-^tM}$ et $ S=\frac12{M+^tM}$
$ \bullet\ $Le produit de deux matrices symétriques est symétrique si et seulement si les deux matrices commutent.
$ \bullet\ $L'ensemble des matrices triangulaires supérieures est une sous-algèbre de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$, de dimension $ n.(n+1)/2$.
$ \bullet\ $L'ensemble des matrices triangulaires inférieures est une sous-algèbre de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$, de dimension $ n.(n+1)/2$.
$ \bullet\ $L'ensemble des matrices triangulaires inférieures est isomorphe à l'ensemble des matrices triangulaires supérieures
$ \bullet\ $Les éléments inversibles de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) sont les matrices triangulaires dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls; ils forment un sous-groupe multiplicatif de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$.
$ \bullet\ $Etant donnée une matrice $ A$ de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$, on appelle commutant de $ A$ le sous-ensemble de $ {\cal M}_n(K)$ des matrices commutant avec $ A$.
$ \bullet\ $Etant donnée $ A$ une matrice de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$, on définit $ A^0=I$ avec $ I$ la matrice unité d'ordre $ n$, et $ A^{i+1}=A.A^i$ (au sens du produit matriciel). On peut ainsi définir étant donné un polynôme l'image de $ A$ par ce polynôme, en utilisant la multiplication matricielle et la multiplication par un scalaire.
$ \bullet\ $Etant donnée $ A$ une matrice de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$, l'application de $ \mathbb{K}[X] \to {\cal M}_n(\mathbb{K})$ qui à $ P$ associe $ P(A)$ est un morphisme d'algèbres. Son image est la sous-algèbre de $ {\cal M}_n(\mathbb{K})$; on la note $ \mathbb{K}(A)$, elle est commutative.
$ \bullet\ $ $ \mathbb{K}(A)$ est de dimension finie, au plus $ n$.

Démonstration: Seul le dernier point pose difficulté. Il nécéssitera le théorème de Cayley-Hamilton, qui montre que $ A^n \in Vect(A^0,...,A^{n-1})$. La suite est claire.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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