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Le cas des matrices carrées: la $\mathbb{K}$ -algèbre ${\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$

Définition On appelle matrice carrée une matrice de type pour un certain . On note ${\cal M}_n(\mathbb{K})={\cal M}_{n,n}(\mathbb{K})$ .
On appelle matrice d'un endormophisme associée à une base la matrice $Mat_{B,B'}(f)$ ; on la note aussi .
On appelle diagonale d'une matrice carrée de type le vecteur $(M_{1,1},...,M_{i,i},...,M_{n,n})$ .
On appelle trace d'une matrice carrée la somme $\sum_{i\in [1,n]} M_{i,i}$ . On la note . L'application $M \to tr(M)$ est une application linéaire.
On appelle matrice unité d'ordre la matrice avec $M_{i,j}=\partial _{i,j}$ . C'est la matrice de l'endomorphisme identité.
On appelle matrice scalaire une matrice égale à ${\lambda}.I$ avec ${\lambda}$ un scalaire et une matrice unité.
On appelle matrice diagonale associée à un -uple la matrice de type définie par $M_{i,i}=m_i$ et $M_{i,j}=0$ si $i\neq j$ . On note .
Une matrice est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.
Une matrice est dite antisymétrique si elle est égale à l'opposée de sa transposée, c'est à dire si .
Une matrice carrée est dite triangulaire supérieure si $j<i \to M_{i,j}=0$
On note ${\cal T}_n^s$ l'ensemble des matrices carrées triangulaires supérieures d'ordre .
Une matrice carrée est dite triangulaire inférieure si $j>i \to M_{i,j}=0$
On note ${\cal T}_n^i$ l'ensemble des matrices carrées triangulaires inférieures d'ordre .

Proposition $\bullet\$ ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ est une $\mathbb{K}$ -algèbre, isomorphe à la $\mathbb{K}$ -algèbre des endomorphismes de $\mathbb{K}^n$ (ou de , pour tout espace vectoriel de dimension ).
$\bullet\$ Si est inversible, alors sa transposée aussi et $(^tM)^{-1}=^t(M^{-1})$ .
$\bullet\$ (que et soient carrées ou non, pourvu que le produit soit carré)
$\bullet\$ Une matrice est scalaire si et seulement si c'est la matrice associée à un endomorphisme de la forme $x \mapsto {\lambda}.x$ .
$\bullet\$ L'ensemble des matrices diagonales de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ est une sous-algèbre commutative de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ .
$\bullet\$ L'ensemble des matrices symétriques de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ et l'ensemble des matrices antisymétriques de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ sont des sous-espaces vectoriels de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ ; si $\mathbb{K}$ n'est pas de caractéristique , ils sont supplémentaires; ils sont alors de dimensions respectives $\frac{n.(n+1)}2$ et $\frac{n.(n-1)}2$ , engendrés respectivement par les $E_{i,j}+E_{j,i}$ pour $i \leq j$ et par les $E_{i,j}-E_{j,i}$ pour . Toute matrice carrée s'écrit , avec antisymétrique et antisymétriques, avec $A=\frac12{M-^tM}$ et $S=\frac12{M+^tM}$
$\bullet\$ Le produit de deux matrices symétriques est symétrique si et seulement si les deux matrices commutent.
$\bullet\$ L'ensemble des matrices triangulaires supérieures est une sous-algèbre de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ , de dimension .
$\bullet\$ L'ensemble des matrices triangulaires inférieures est une sous-algèbre de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ , de dimension .
$\bullet\$ L'ensemble des matrices triangulaires inférieures est isomorphe à l'ensemble des matrices triangulaires supérieures
$\bullet\$ Les éléments inversibles de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) sont les matrices triangulaires dont tous les coefficients diagonaux sont non nuls; ils forment un sous-groupe multiplicatif de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ .
$\bullet\$ Etant donnée une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ , on appelle commutant de le sous-ensemble de ${\cal M}_n(K)$ des matrices commutant avec .
$\bullet\$ Etant donnée une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ , on définit avec la matrice unité d'ordre , et $A^{i+1}=A.A^i$ (au sens du produit matriciel). On peut ainsi définir étant donné un polynôme l'image de par ce polynôme, en utilisant la multiplication matricielle et la multiplication par un scalaire.
$\bullet\$ Etant donnée une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ , l'application de $\mathbb{K}[X] \to {\cal M}_n(\mathbb{K})$ qui à associe est un morphisme d'algèbres. Son image est la sous-algèbre de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ ; on la note $\mathbb{K}(A)$ , elle est commutative.
$\bullet\$ $\mathbb{K}(A)$ est de dimension finie, au plus .

Démonstration: Seul le dernier point pose difficulté. Il nécéssitera le théorème de Cayley-Hamilton, qui montre que $A^n \in Vect(A^0,...,A^{n-1})$ . La suite est claire. $\sqcap$ $\sqcup$