Définition [Matrice associée à une famille finie de vecteurs]
Etant donnée une famille de vecteurs
d'un
espace vectoriel de dimension finie et une base
de ,
on appelle matrice associée à la famille des
et à la base des la matrice définie
par
.
On appelle rang d'une matrice le rang de la famille
de ses vecteurs colonnes. On le note .
Une matrice extraite de ,
avec carrée inversible d'ordre le rang de ,
est appelée matrice principale de .
PropositionLe rang d'une matrice associée à un système de
vecteurs et à une base est indépendant de cette base.
, avec de type .
surjective
injective
Démonstration:Refaire cette preuve facile réveillera les neurones consacrés à l'algèbre linéaire chez ceux pour qui tout cela est un peu oublié...
Proposition
Le rang d'une matrice non nulle est égal à maximal tel qu'il
existe une matrice extraite inversible de type de .
Démonstration:Il est clair que le rang de est supérieur au rang de toute
matrice extraite inversible (considérer une combinaison linéaire
nulle des vecteurs correspondants de ).
Etant donné le rang de il existe une famille libre de
vecteurs parmi la famille des vecteurs colonnes de .
On peut alors considérer la transposée de cette matrice;
son rang est le même, et donc on peut se restreindre au même
nombre de colonnes.
d'un
espace vectoriel de dimension finie 
et une base
de 
,
on appelle matrice associée à la famille des 
et à la base des 
la matrice 
définie
par
.
.
extraite de 
Le rang
, avec 
.
surjective
injective
de 
le rang de 
