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Rang d'une matrice

Définition [Matrice associée à une famille finie de vecteurs] Etant donnée une famille de vecteurs $ (x_1,...,x_p)$ d'un espace vectoriel de dimension finie $ n$ et une base $ (v_1,...,v_n)$ de $ E$, on appelle matrice associée à la famille des $ x_i$ et à la base des $ v_i$ la matrice $ M$ définie par $ M_{i,j}=v_i^*(x_j)$.
On appelle rang d'une matrice $ M$ le rang de la famille de ses vecteurs colonnes. On le note $ rg(M)$.
Une matrice $ N$ extraite de $ M$, avec $ N$ carrée inversible d'ordre le rang de $ M$, est appelée matrice principale de $ M$.

Proposition $ \bullet\ $Le rang d'une matrice associée à un système de vecteurs et à une base est indépendant de cette base.
$ \bullet\ $ $ rg(Mat_{B,B'}(f))=rg(f)$
$ \bullet\ $ $ rg(^tM)=rg(M) \leq min(n,p)$, avec $ M$ de type $ (n,p)$.
$ \bullet\ $ $ rg(M)=n \iff M $ surjective
$ \bullet\ $ $ rg(M)=p \iff M $ injective
$ \bullet\ $ $ rg(M.M') \leq min (rg(M),rg(M'))$

Démonstration: Refaire cette preuve facile réveillera les neurones consacrés à l'algèbre linéaire chez ceux pour qui tout cela est un peu oublié...$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition Le rang d'une matrice $ M$ non nulle est égal à $ n$ maximal tel qu'il existe une matrice extraite inversible de type $ (n,n)$ de $ M$.

Démonstration: $ \bullet\ $Il est clair que le rang de $ M$ est supérieur au rang de toute matrice extraite inversible (considérer une combinaison linéaire nulle des vecteurs correspondants de $ M$).
$ \bullet\ $Etant donné $ r$ le rang de $ M$ il existe une famille libre de $ r$ vecteurs parmi la famille des vecteurs colonnes de $ M$.
On peut alors considérer la transposée de cette matrice; son rang est le même, et donc on peut se restreindre au même nombre de colonnes.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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