Définition [Matrices équivalentes]
Deux matrices et de même type
sont dites équivalentes si il existe
et des matrices inversibles de types respectifs
et telles que
Quelques propriétés immédiates:
PropositionIl s'agit d'une relation d'équivalence.
Deux matrices de même type sont équivalentes si et seulement si elles représentent
un même morphisme dans des bases différentes.
Deux matrices de même type sont équivalentes si et seulement si elles ont le même
rang.
Dans la deuxième propriété, il faut bien voir qu'il faut changer éventuellement
à la fois la base de départ et la base d'arrivée.
Définition [Matrices semblables]
Deux matrices carrées et de même type sont dites semblables
s'il existe une matrice telle que
PropositionIl s'agit d'une relation d'équivalence
Deux matrices sont semblables si elles représentent un
même endomorphisme dans deux bases différentes
Deux matrices semblables ont même rang
Deux matrices semblables ont même trace
Démonstration:Facile pour les trois premiers points; pour le quatrième il suffit
de se rappeller que la trace de est égale à la trace de . Cette fois-ci, contrairement au cas des matrices équivalentes,
deux matrices de même rang ne sont pas nécéssairement semblables.
La deuxième caractérisation fait appel à un endomorphisme
et pas une application linéaire quelconque; la base de départ
est la même que celle d'arrivée.
Matrices équivalentes
et 
de même type 
sont dites équivalentes
et 
des matrices inversibles de types respectifs
et 
telles que
Il s'agit d'une relation d'équivalence.
Dans la deuxième propriété, il faut bien voir qu'il faut changer éventuellement
à la fois la base de départ et la base d'arrivée.
est égale à la trace de 
