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Matrices équivalentes, matrices semblables

$ \boxcircle$ Matrices équivalentes

Définition [Matrices équivalentes] Deux matrices $ A$ et $ B$ de même type $ (n,p)$ sont dites équivalentes si il existe $ P$ et $ Q$ des matrices inversibles de types respectifs $ (p,p)$ et $ (n,n)$ telles que

$\displaystyle B=Q.A.P$


Quelques propriétés immédiates:

Proposition $ \bullet\ $Il s'agit d'une relation d'équivalence.
$ \bullet\ $Deux matrices de même type sont équivalentes si et seulement si elles représentent un même morphisme dans des bases différentes.
$ \bullet\ $Deux matrices de même type sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.

Attention! Dans la deuxième propriété, il faut bien voir qu'il faut changer éventuellement à la fois la base de départ et la base d'arrivée.

$ \boxcircle$ Matrices semblables

Définition [Matrices semblables] Deux matrices carrées $ A$ et $ B$ de même type sont dites semblables s'il existe une matrice $ P$ telle que

$\displaystyle A=P.B.P^{-1}$


Proposition $ \bullet\ $Il s'agit d'une relation d'équivalence
$ \bullet\ $Deux matrices sont semblables si elles représentent un même endomorphisme dans deux bases différentes
$ \bullet\ $Deux matrices semblables ont même rang
$ \bullet\ $Deux matrices semblables ont même trace

Démonstration: Facile pour les trois premiers points; pour le quatrième il suffit de se rappeller que la trace de $ AB$ est égale à la trace de $ BA$.$ \sqcap$$ \sqcup$
Attention! Cette fois-ci, contrairement au cas des matrices équivalentes, deux matrices de même rang ne sont pas nécéssairement semblables.
Attention! La deuxième caractérisation fait appel à un endomorphisme et pas une application linéaire quelconque; la base de départ est la même que celle d'arrivée.


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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