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Théorème de Cantor-Bernstein

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Cofacteurs

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Cofacteurs

Définition [Mineur et cofacteur] Le déterminant de la matrice à laquelle on ôte la -ième colonne et la -ième ligne est appelé mineur de . On le note généralement $\Delta _{i,j}$ .
Le déterminant de la matrice à laquelle on ôte la -ième colonne pour la remplacer par le -ième vecteur de la base est appelé cofacteur de . On le note généralement $\gamma _{i,j}(M)$ . On la note généralement .
La matrice $\gamma$ ainsi définie est appelée comatrice de .
La matrice $^t\gamma$ est appelée matrice complémentaire de . On la note généralement $\tilde M$ .

Pour y voir plus clair, le mineur de est:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccccccc} M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} ... ...} & \dots & M_{n,j-1} & M_{n,j+1} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array}\right\vert$

et le cofacteur de est:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccccccc} M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} ... ...\dots & M_{n,j-1} & 0 & M_{n,j+1} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array}\right\vert$

qui est d'ailleurs égal à

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccccccc} M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} ... ...\dots & M_{n,j-1} & 0 & M_{n,j+1} & \dots & M_{n,n} \\ \end{array}\right\vert$

Proposition

$\displaystyle \gamma _{i,j}=(-1)^{i+j}.\Delta _{i,j}$

Proposition La comatrice de la transposée de est la transposée de la comatrice de .

Il est nécéssaire pour la suite d'avoir lu la partie .

Théorème Si $\tilde M$ désigne la matrice complémentaire

$\displaystyle \tilde M.M = det\ M.Id$

$\displaystyle M.\tilde M = det\ M.Id$

en particulier, si

est inversible, $M^{-1}=\frac1{det\ M}\tilde M$ .

Démonstration: Considérons le terme de la matrice $\tilde M.M$ . Il s'agit de $\sum_{k=1..n} \gamma _{k,i}.M_{k,j}$ .
Considérons le terme de la matrice $det\ M.Id$ .
Il s'agit de $\partial _{i,j}.det\ M$ .

On cherche donc à montrer que $\partial _{i,j}.det\ M = \sum_{k=1..n} \gamma _{k,i}.M_{k,j}$ .

On distingue deux cas:
$\bullet\$ $i\neq j$
On considère alors la matrice , sur laquelle on remplace la colonne par la colonne (on ne les permute pas, on supprime la colonne , et on copie la colonne à la place).
Le déterminant de la matrice obtenue est nul, puisqu'on a deux fois la même colonne. On développe par rapport à la colonne . On obtient