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Cofacteurs

Définition [Mineur et cofacteur] Le déterminant de la matrice $ M$ à laquelle on ôte la $ j$-ième colonne et la $ i$-ième ligne est appelé mineur $ (i,j)$ de $ M$. On le note généralement $ \Delta _{i,j}$.
Le déterminant de la matrice $ M$ à laquelle on ôte la $ j$-ième colonne pour la remplacer par le $ i$-ième vecteur de la base est appelé cofacteur $ (i,j)$ de $ M$. On le note généralement $ \gamma _{i,j}(M)$. On la note généralement $ com(M)$.
La matrice $ \gamma $ ainsi définie est appelée comatrice de $ M$.
La matrice $ ^t\gamma $ est appelée matrice complémentaire de $ M$. On la note généralement $ \tilde M$.

Pour y voir plus clair, le mineur $ (i,j)$ de $ M$ est:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccccccc}
M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} ...
...} & \dots & M_{n,j-1} & M_{n,j+1} & \dots & M_{n,n} \\
\end{array}\right\vert $

et le cofacteur $ (i,j)$ de $ M$ est:

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccccccc}
M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} ...
...\dots & M_{n,j-1} & 0 & M_{n,j+1} & \dots & M_{n,n} \\
\end{array}\right\vert $

qui est d'ailleurs égal à

$\displaystyle \left\vert \begin{array}{ccccccccc}
M_{1,1} & M_{1,2} & M_{1,3} ...
...\dots & M_{n,j-1} & 0 & M_{n,j+1} & \dots & M_{n,n} \\
\end{array}\right\vert $

Proposition

$\displaystyle \gamma _{i,j}=(-1)^{i+j}.\Delta _{i,j}$

Proposition La comatrice de la transposée de $ M$ est la transposée de la comatrice de $ M$.

Il est nécéssaire pour la suite d'avoir lu la partie [*].

Théorème Si $ \tilde M$ désigne la matrice complémentaire

$\displaystyle \tilde M.M = det\ M.Id$

et

$\displaystyle M.\tilde M = det\ M.Id$

en particulier, si $ M$ est inversible, $ M^{-1}=\frac1{det\ M}\tilde M$.

Démonstration: Considérons le terme $ (i,j)$ de la matrice $ \tilde M.M$. Il s'agit de $ \sum_{k=1..n} \gamma _{k,i}.M_{k,j}$.
Considérons le terme $ (i,j)$ de la matrice $ det\ M.Id$.
Il s'agit de $ \partial _{i,j}.det\ M$.

On cherche donc à montrer que $ \partial _{i,j}.det\ M = \sum_{k=1..n} \gamma _{k,i}.M_{k,j}$.

On distingue deux cas:
$ \bullet\ $$ i\neq j$
On considère alors la matrice $ M$, sur laquelle on remplace la colonne $ i$ par la colonne $ j$ (on ne les permute pas, on supprime la colonne $ i$, et on copie la colonne $ j$ à la place).
Le déterminant de la matrice obtenue est nul, puisqu'on a deux fois la même colonne. On développe par rapport à la colonne $ i$. On obtient

$\displaystyle \sum_{k=1..n} M_{k,j}.\gamma _{k,i}=0$

et donc le résultat dans ce cas est bien montré.
$ \bullet\ $$ i=j$
Dans ce cas on considère le développement de $ M$ par rapport à la $ i$-ième colonne et on obtient

$\displaystyle det\ M = \sum_{k=1..n} \gamma _{k,i}.M_{k,i} = \sum_{k=1..n} \gamma _{k,i}.M_{k,j}$

d'où le résultat souhaité.
Le second résultat se déduit du premier en considérant la transposée de chacun des deux produits.$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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