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Généralités

Définition Un espace vectoriel

est dit de dimension finie lorsqu'il admet une base

de cardinal finie. Dans le cas contraire il est dit de dimension infinie.
Dans un espace fini le cardinal d'une base est appelé dimension de l'espace (il faudra voir plus loin que toutes les bases ont alors même cardinal). Un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel

est dit de codimension finie si la dimension de l'espace quotient est finie. On appelle alors codimension de cet espace la dimension de l'espace quotient. Sinon il est dit de codimension infinie.

Dans la suite désigne un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie.

Théorème [Théorème de la base incomplète] Si est une famille libre et une famille génératrice finie, avec $I \subset K$ , alors il existe avec $I \subset J \subset K$ tel que soit une base.

Démonstration: On considère libre maximal au sens du cardinal vérifiant $I \subset J \subset K$ . Si toute famille plus grande incluse dans est liée, alors tout élément de est combinaison linéaire d'éléments de ; tout élément de s'écrit comme combinaison d'éléments de , qui eux-mêmes s'écrivent comme combinaisons linéaires d'éléments de . Donc la famille est génératrice. $\sqcap$ $\sqcup$

Lemme [Lemme de Steinitz] Si est non réduit à $\{0\}$ , admettant une famille génératrice de cardinal , toute famille de vecteurs (ou plus) est liée.

Démonstration: $\bullet\$ Le cas est trivial. On procède alors par récurrence.

$\bullet\$ Supposons la propriété vraie pour et soit ; supposons admettant une famille génératrice de cardinal . Notons le sous-espace vectoriel de engendré par $b_1,...,b_{n-1}$ .

$\bullet\$ Donnons-nous une famille $e_1,...,e_{n+1}$ de .

$\bullet\$ Soit, pour $i\in [1,n+1]$ , $f_i \in F$ et ${\lambda}_i\in \mathbb{K}$ tel que $e_i=f_i+{\lambda}_i\ b_n$ .

$\bullet\$ Si tous les ${\lambda}_i$ sont nuls, alors l'hypothèse de récurrence appliquée à permet de conclure.

$\bullet\$ Supposons alors ${\lambda}_1\neq 0$ ; dans ce cas, $b_{1}=\frac{1}{{\lambda}_1}(e_1-f_1)$ .

$\bullet\$ On peut alors exprimer en fonction de pour tout , puis $z_i=e_i-\frac{{\lambda}_i}{{\lambda}_1} e_1$ comme combinaison linéaire des , donc comme éléments de pour tout .

$\bullet\$ L'hypothèse de récurrence permet alors de conclure que les pour sont liés.

$\bullet\$ On écrit alors $\sum \alpha _i z_i=0$ , avec les $\alpha _i$ non tous nuls; en développant $z_i=e_i-\frac{{\lambda}_i}{{\lambda}_1} e_1$ , on obtient une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls des . D'où le résultat. $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Dans un espace de dimension finie, toutes les bases ont le même cardinal.

Démonstration: Conséquence immédiate du lemme . $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Deux espaces vectoriels de dimension finie sur le même corps sont isomorphes si et seulement si ils ont même dimension.

Démonstration: S'ils sont isomorphes, l'image d'une base de l'un par un isomorphisme est base de l'autre, donc ils ont même dimension. S'ils ont même dimension, alors avec une base de l'un, et une base de l'autre, l'application $\sum {\lambda}_i e_i\mapsto \sum {\lambda}_i f_i$ pour $({\lambda}_1,...,{\lambda}_n) \in \mathbb{K}^n$ est un isomorphisme, comme on le vérifie facilement (la fonction est bien définie car est une base, linéarité évidente, injectivité immédiate car est libre, surjectivité immédiate car est génératrice). $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème , sous-espace vectoriel de , est égal à si et seulement si $dim\ E = dim \ F$ .

Démonstration: Il est clair que si et sont égaux, alors ils ont même dimension. Réciproquement, s'ils ont même dimension, alors une base de est une famille libre de même cardinal qu'une base de , donc c'est une base de (voir le lemme de Steinitz ci-dessus). $\sqcap$ $\sqcup$

Théorème Tout sous-espace vectoriel de ( est supposé non nul) admet un supplémentaire, et si $E= F \oplus G$ , alors $dim\ E=dim\ F+dim\ G$ , et une base de s'obtient en réunissant une base de et une base de .

Démonstration: Conséquence du théorème de la base incomplète. $\sqcap$ $\sqcup$

Maintenant quelques théorèmes faciles, sans démonstration, mais fort pratiques néanmoins:

Théorème Etant donnés et des sous-espaces vectoriels de , on a $dim\ (F+G) +dim\ (F \cap G) = dim\ F+dim\ G$ .

Théorème et sont supplémentaires dans si et seulement si leur intersection est nulle et si la somme de leurs dimensions soit la dimension de .

Théorème et sont supplémentaires dans si et seulement si leur intersection est nulle et si leur somme est égale à .

Théorème et sont supplémentaires dans si et seulement si leur somme est égale à et si la somme de leurs dimensions est égale à la dimension de .

Théorème Etant donnés sous-espace vectoriel de , la dimension de est égale à la dimension de moins la dimension de .

Théorème Si les sont de dimension finie, alors $dim\ \Pi_{i=1..n} E_i = \sum_i dim \ E_i$ .

Théorème Si et sont de dimension finie, alors ${\cal L}(E,F)$ est de dimension finie et $dim\ {\cal L}(E,F)=dim\ E .dim\ F$ .

Démonstration: On considère une base de et une base de , notées respectivement et ; alors les $\partial _{i,j}$ définies par $\partial _{i,j}(e_i)=f_j$ et $\partial _{i,j}(e_l)=0$ pour $l \neq i$ forment une base de ${\cal L}(E,F)$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Définition On appelle rang d'une famille finie de vecteurs la dimension de l'espace vectoriel que cette famille engendre.
On appelle rang d'une application linéaire la dimension de son image lorsque celle-ci est finie. C'est en fait le rang de l'image d'une base lorsque l'espace de départ est de dimension finie

Théorème [Théorème du rang] Si $f \in {\cal L}(E,F)$ et et de dimension finie, alors $Im\ f$ et $Ker\ f$ sont de dimension finie, et $dim\ E = dim \ Im\ f + dim \ Ker\ f$ .

Démonstration: On considère un supplémentaire du noyau, et on montre qu'il est isomorphe à l'image de (voir théorème ). $\sqcap$ $\sqcup$

Corollaire Soit une application d'un espace vectoriel vers un espace vectoriel , avec et de dimension finie et de même dimension, alors est un isomorphisme si et seulement si l'une des propriétés suivantes est vérifiée:
$\bullet\$ a un noyau réduit à un singleton
$\bullet\$ est injective
$\bullet\$ est surjective
$\bullet\$ est bijective
$\bullet\$ Le rang de est égal à la dimension de

Proposition [Quelques propriétés du rang] $\bullet\$ Le rang d'une famille finie de vecteurs est invariant par permutations
$\bullet\$ Multiplier un vecteur d'une famille par un scalaire non nul ne change pas le rang de la famille
$\bullet\$ On ne change pas le rang d'une famille de vecteurs en additionnant à un vecteur une combinaison linéaire des autres vecteurs
$\bullet\$ Le rang d'une famille de vecteurs est le même si l'on suppirme un vecteur nul