est un espace vectoriel normé de dimension finie .
Définition
Etant donnée une base
de , on appelle formes coordonnées associées les formes linéaires définies par
.
On note que
.
Théorème.
La famille des est une base de ; on l'appelle la base duale de la base .
Tout appartenant à s'écrit
Pour toute base de , il existe une base de dont la base duale est la
base des .
Démonstration:La dimension de est égale à la dimension de , car
; il suffit donc de montrer que la famille
est libre. On se donne une combinaison linéaire nulle des ;
en considérant l'image de la combinaison linéaire nulle de
on voit que le coefficient de est nulle pour tout .
On se donne une application qui à associe
. On montre sans trop de difficultés que
est un isomorphisme de dans . Donc il existe une
base telle que
;
cette base convient.
Théorème
Soit et des
-espace vectoriel de dimensions finies (non nécéssairement égales).
Alors l'application transposition qui à
associe
est un isomorphisme. En outre le rang de est égal au rang de et
est un espace vectoriel normé de dimension finie 
.
![$ (e_i)_{i\in [1,n]}$](/b/c/j/img65.png){kind=small}
de 
définies par
.
.
.
est une base de 
; on l'appelle la base duale
.
appartenant à 
de 
; il suffit donc de montrer que la famille
est libre. On se donne une combinaison linéaire nulle des 
on voit que le coefficient de 
est nulle pour tout 
.
qui à 
associe
. On montre sans trop de difficultés que
. Donc il existe une
base 
;
cette base convient.
des
-espace vectoriel de dimensions finies (non nécéssairement égales).
Alors l'application transposition
associe
est un isomorphisme. En outre le rang de 
est égal au rang de 
