est un espace vectoriel normé de dimension finie .
Définition
Etant donnée une base
de , on appelle formes coordonnées associées les formes linéaires définies par
.
On note que
.
Théorème.
La famille des est une base de ; on l'appelle la base duale de la base .
Tout appartenant à s'écrit
Pour toute base de , il existe une base de dont la base duale est la
base des .
Démonstration:La dimension de est égale à la dimension de , car
; il suffit donc de montrer que la famille
est libre. On se donne une combinaison linéaire nulle des ;
en considérant l'image de la combinaison linéaire nulle de
on voit que le coefficient de est nulle pour tout .
On se donne une application qui à associe
. On montre sans trop de difficultés que
est un isomorphisme de dans . Donc il existe une
base telle que
;
cette base convient.
Théorème
Soit et des
-espace vectoriel de dimensions finies (non nécéssairement égales).
Alors l'application transposition qui à
associe
est un isomorphisme. En outre le rang de est égal au rang de et