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Dualité simple

$ E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie $ n$.

Définition Etant donnée une base $ (e_i)_{i\in [1,n]}$ de $ E$, on appelle formes coordonnées associées les $ n$ formes linéaires $ e_j$ définies par $ e_j^*(e_i)=\partial _{i,j}$.

On note que $ x=\sum_j e_j^*(x).e_j$.

Théorème $ \bullet\ $ $ dim\ E^*=dim\ E$.
$ \bullet\ $La famille des $ e_j^*$ est une base de $ E^*$; on l'appelle la base duale de la base $ (e_i)$.
$ \bullet\ $Tout $ f$ appartenant à $ E^*$ s'écrit $ f=\sum_i f(e_i).e_i^*$
$ \bullet\ $Pour toute base $ (f_i)$ de $ E^*$, il existe une base de $ E$ dont la base duale est la base des $ (f_i)$.

Démonstration: La dimension de $ E^*$ est égale à la dimension de $ E$, car $ dim\ {\cal L}(E,K)=dim\ E.dim\ K$; il suffit donc de montrer que la famille est libre. On se donne une combinaison linéaire nulle des $ e_j^*$; en considérant l'image de la combinaison linéaire nulle de $ e_i$ on voit que le coefficient de $ e_i^*$ est nulle pour tout $ i$.
On se donne une application $ \phi$ qui à $ x$ associe $ (f_1^*(x),...,f_n^*(x))$. On montre sans trop de difficultés que $ \phi$ est un isomorphisme de $ E$ dans $ K^n$. Donc il existe une base $ (e_i)$ telle que $ \phi(e_i)=(d_{1,i},...,\partial _{i,i},...\partial _{n,i})$; cette base convient.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Soit $ E$ et $ F$ des $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimensions finies (non nécéssairement égales). Alors l'application transposition qui à $ f \in {\cal L}(E,F)$ associe $ ^tf \in {\cal L}(F^*,E^*)$ est un isomorphisme. En outre le rang de $ ^tf$ est égal au rang de $ f$ et

$\displaystyle Ker \ ^tf=(Im\ f)^\bot$


Démonstration: Facile!$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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