est un espace vectoriel normé de dimension finie .
Théorème
Quel que soit sous-espace vectoriel de , on a:
Démonstration:Si alors le résultat est clair. Sinon, on considère une base
de , et on la complète en une base
de . On considère la base duale ; il est clair alors que les
forment une famille libre génératrice de , d'où la première assertion.
On constate bien que
est inclus dans ; la dimension permet de conclure.
Théorème
Quel que soit sous-espace vectoriel de , on a:
Démonstration:La méthode est la même que précédemment; il faut juste se souvenir que toute
base du dual est la base duale d'une certaine base.
Théorème
Avec l'isomorphisme canonique de dans ,
pour tout sous-espace vectoriel de , on a
.
Démonstration:Il n'y a qu'à l'écrire et ça marche tout seul...
est un espace vectoriel normé de dimension finie 
.
sous-espace vectoriel de 
alors le résultat est clair. Sinon, on considère une base
![$ (f_i)_{i\in [1,f]}$](/b/c/j/img91.png){kind=small}
de ![$ (f_i)_{i \in [1,n]}$](/b/c/j/img92.png){kind=small}
de 
; il est clair alors que les
forment une famille libre génératrice de 
, d'où la première assertion.
est inclus dans 
, on a:
l'isomorphisme canonique de 
,
pour tout 
.
