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Orthogonalité

$ E$ est un espace vectoriel normé de dimension finie $ n$.

Théorème Quel que soit $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$, on a:
$ \bullet\ $ $ dim\ E=dim\ F+dim\ F^\bot$
$ \bullet\ $ $ {F^\bot}^o=F$

Démonstration: Si $ F=\{0\}$ alors le résultat est clair. Sinon, on considère une base $ (f_i)_{i\in [1,f]}$ de $ F$, et on la complète en une base $ (f_i)_{i \in [1,n]}$ de $ E$. On considère la base duale $ (f_i^*)$; il est clair alors que les $ (f_i)_{i > f}$ forment une famille libre génératrice de $ F^\bot$, d'où la première assertion.
On constate bien que $ {F^\bot}^o$ est inclus dans $ F$; la dimension permet de conclure.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Quel que soit $ F$ sous-espace vectoriel de $ E'$, on a:
$ \bullet\ $ $ dim\ E=dim\ F+dim\ F^o$
$ \bullet\ $ $ {F^o}^\bot=F$

Démonstration: La méthode est la même que précédemment; il faut juste se souvenir que toute base du dual est la base duale d'une certaine base.$ \sqcap$$ \sqcup$

Théorème Avec $ \phi$ l'isomorphisme canonique de $ E$ dans $ E^{**}$, pour tout $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$, on a $ {F^\bot}^\bot=\phi({F^\bot}^o)=\phi(F)$.

Démonstration: Il n'y a qu'à l'écrire et ça marche tout seul...$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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