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Bases sur les matrices

Définition [Définitions de base sur les matrices] On appelle matrice de type $ (n,p)$ sur un corps $ \mathbb{K}$ toute application de $ [1,n]\times [1,p]$ (intervalles de $ \mathbb{N}$) dans $ \mathbb{K}$. On la représente généralement comme suit:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc}
m_{1,1} & m_{1,2} & \dots & m_{1,p} \\...
...&\ddots & \vdots \\
m_{n,1} & m_{n,2} & \dots & m_{n,p} \\
\end{array}\right)$

On note $ M_{n,p}(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices de type $ (n,p)$ sur le corps $ \mathbb{K}$.
On appelle matrice ligne une matrice de type $ (1,p)$, et bf matrice colonne une matrice de type $ (n,1)$.
On appelle matrice extraite d'une matrice de type $ (n,p)$ la restriction de cette matrice à $ I \times J$, avec $ I \subset [1,n]$ et $ J \subset [1,p]$.
On appelle $ i$-ième vecteur-ligne de la matrice $ M$ de type $ (n,p)$ la restriction de cette matrice à $ \{i\}\times [1,p]$. On peut identifier un vecteur-ligne à un élément de $ \mathbb{K}^p$.
On appelle $ j$-ième vecteur-colonne de la matrice $ M$ de type $ (n,p)$ la restriction de cette matrice à $ [1,n] \times \{j\}$. On peut identifier un vecteur-colonne à un élément de $ \mathbb{K}^n$.
On appelle matrice associée à un morphisme $ f$ de l'espace vectoriel $ E$ de dimension $ p$ dans l'espace vectoriel $ F$ de dimension $ n$ et aux bases $ B=(e_i)$ et $ B'=(f_i)$ de $ E$ et $ F$ respectivement la matrice $ M$ de type $ (n,p)$ telle que $ M_{i,j}=f_i^*(e_j)$. On la note $ Mat_{B,B'}(f)$.
Inversement, on appelle application linéaire canoniquement associée à la matrice $ M$ le morphisme de $ \mathbb{K}^p$ dans $ \mathbb{K}^n$ dont la matrice associée est $ M$.

Proposition Une matrice de type $ {n,p}$ admet $ C_n^{n'}.C_p^{p'}$ matrices extraites de type $ (n',p')$.

Proposition $ E$ et $ F$ étant de dimension respectives $ p$ et $ n$ sur le corps $ \mathbb{K}$, on a

$\displaystyle {\cal L}(E,F) \simeq {\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$

via l'isomorphisme $ f \mapsto Mat_{B,B'}(f)$.
Avec $ E=\mathbb{K}^p$ et $ F=\mathbb{K}^n$, et $ B$ et $ B'$ les bases canoniques, on a alors un isomorphisme canonique entre $ {\cal L}(\mathbb{K}^p,\mathbb{K}^n)$ et $ {\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$.

Démonstration: Evident!$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Matrice canonique d'une application linéaire en dimension finie] Soit $ f$ une application linéaire entre $ E$, espace vectoriel de dimension $ p$, et $ F$, espace vectoriel de dimension $ n$; soit $ r$ le rang de $ f$. Alors il existe une base $ B$ et $ E$ et une base $ B'$ de $ F$ telles que

$\displaystyle Mat_{B,B'}(f)=M$

avec

$\displaystyle M_{i,j}=1$    si $ i=j \leq r$

$\displaystyle M_{i,j}=0$    sinon

On appelle cette matrice matrice canonique de $ f$.

Démonstration: Considérer une base $ B_1$ d'un supplémentaire du noyau de $ f$; considérer $ B_1'=f(B_1)$; considérer $ B_2$ une base du noyau de $ f$, et compléter $ B_1'$ en une base $ B'$. Il reste à considérer $ B=B_1 \cup B_2$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Remarque 1   La matrice d'une forme linéaire est une matrice-ligne.

Définition [produit matriciel] On appelle matrice produit des matrices $ A$ et $ B$ de types respectifs $ (n,q)$ et $ (q,p)$ la matrice $ C$ de type $ (n,p)$ telle que

$\displaystyle C_{i,j}=\sum_{k\in[1,q]} A_{i,k}.B_{k,j}$

On note $ C=A \times B$ ou $ C=A.B$.

Proposition $ \bullet\ $Le produit matriciel défini ci-dessus est associatif et bilinéaire.
$ \bullet\ $Avec $ A=Mat_{B,B'}(f)$ et $ B=Mat_{B',B''}(g)$, $ B\times A=Mat_{B,B''}(g \circ f)$
$ \bullet\ $Avec $ x \in E$, $ X$ le vecteur des coordonnées de $ x$ dans la base $ B$, alors les coordonnées de $ y=f(x)$ dans la base $ B'$ sont celles de $ Y$, avec $ Y=M\times X$, et $ M=Mat_{B,B'}(f)$.

Démonstration: Facile (et non moins important).$ \sqcap$$ \sqcup$


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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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