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Bases sur les matrices

Définition [Définitions de base sur les matrices] On appelle matrice de type sur un corps $\mathbb{K}$ toute application de $[1,n]\times [1,p]$ (intervalles de $\mathbb{N}$ ) dans $\mathbb{K}$ . On la représente généralement comme suit:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} m_{1,1} & m_{1,2} & \dots & m_{1,p} \\... ...&\ddots & \vdots \\ m_{n,1} & m_{n,2} & \dots & m_{n,p} \\ \end{array}\right)$

On note $M_{n,p}(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices de type

sur le corps $\mathbb{K}$ .
On appelle matrice ligne une matrice de type

, et bf matrice colonne une matrice de type

.
On appelle matrice extraite d'une matrice de type

la restriction de cette matrice à $I \times J$ , avec $I \subset [1,n]$ et $J \subset [1,p]$ .
On appelle -ième vecteur-ligne de la matrice

de type

la restriction de cette matrice à $\{i\}\times [1,p]$ . On peut identifier un vecteur-ligne à un élément de $\mathbb{K}^p$ .
On appelle -ième vecteur-colonne de la matrice

de type

la restriction de cette matrice à $[1,n] \times \{j\}$ . On peut identifier un vecteur-colonne à un élément de $\mathbb{K}^n$ .
On appelle matrice associée à un morphisme

de l'espace vectoriel

de dimension

dans l'espace vectoriel

de dimension

et aux bases

respectivement la matrice

de type

telle que $M_{i,j}=f_i^*(e_j)$ . On la note $Mat_{B,B'}(f)$ .
Inversement, on appelle application linéaire canoniquement associée à la matrice le morphisme de $\mathbb{K}^p$ dans $\mathbb{K}^n$ dont la matrice associée est

Proposition Une matrice de type admet $C_n^{n'}.C_p^{p'}$ matrices extraites de type .

Proposition et étant de dimension respectives et sur le corps $\mathbb{K}$ , on a

$\displaystyle {\cal L}(E,F) \simeq {\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$

via l'isomorphisme $f \mapsto Mat_{B,B'}(f)$ .
Avec $E=\mathbb{K}^p$ et $F=\mathbb{K}^n$ , et

les bases canoniques, on a alors un isomorphisme canonique entre ${\cal L}(\mathbb{K}^p,\mathbb{K}^n)$ et ${\cal M}_{n,p}(\mathbb{K})$ .

Démonstration: Evident! $\sqcap$ $\sqcup$

Proposition [Matrice canonique d'une application linéaire en dimension finie] Soit une application linéaire entre , espace vectoriel de dimension , et , espace vectoriel de dimension ; soit le rang de . Alors il existe une base et et une base de telles que

$\displaystyle Mat_{B,B'}(f)=M$

avec

$\displaystyle M_{i,j}=1$ si $i=j \leq r$

$\displaystyle M_{i,j}=0$ sinon

On appelle cette matrice matrice canonique de .

Démonstration: Considérer une base d'un supplémentaire du noyau de ; considérer ; considérer une base du noyau de , et compléter en une base . Il reste à considérer $B=B_1 \cup B_2$ . $\sqcap$ $\sqcup$

Remarque 1 La matrice d'une forme linéaire est une matrice-ligne.

Définition [produit matriciel] On appelle matrice produit des matrices et de types respectifs et la matrice de type telle que

$\displaystyle C_{i,j}=\sum_{k\in[1,q]} A_{i,k}.B_{k,j}$

On note $C=A \times B$ ou

Proposition $\bullet\$ Le produit matriciel défini ci-dessus est associatif et bilinéaire.
$\bullet\$ Avec $A=Mat_{B,B'}(f)$ et $B=Mat_{B',B''}(g)$ , $B\times A=Mat_{B,B''}(g \circ f)$
$\bullet\$ Avec $x \in E$ , le vecteur des coordonnées de dans la base , alors les coordonnées de dans la base sont celles de , avec $Y=M\times X$ , et $M=Mat_{B,B'}(f)$ .