Définition
Soit un
-espace vectoriel et un endomorphisme de ; c'est-à-dire
. On se donne
un polynôme appartenant à
;
.
Alors:
On dit que , sous-espace vectoriel de , est stable par si et seulement si
Si il existe tel que
, alors le minimal vérifiant cette propriété est appelé indice de .
On note l'endomorphisme qui à associe
.
On note l'ensemble des pour
; c'est une algèbre commutative (sous-algèbre de l'algèbre des endomorphismes )
On appelle idéal annulateur de l'ensemble des
tels que (c'est un idéal, les matheux sont pas encore assez vicieux pour nous faire cette mauvaise blague). On le note
.
étant principal, si
est non réduit à , il est engendré par un polynôme unitaire que l'on appellera polynôme minimal de et que l'on notera .
On appelle valeur propre de un scalaire tel que
ne soit pas injectif; dans ce cas
est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre .
On appelle spectre de l'ensemble des valeurs propres de . On le note .
On appelle vecteur propre de associé à la valeur propre un élément non nul du sous-espace propre associé à la valeur propre .
On appelle valeur propre de avec une matrice carrée de type une valeur propre d'endomorphisme de
canoniquement associé à .
On appelle sous-espace propre de associé à avec une matrice carrée de type l'espace propre de l'endomorphisme de
canoniquement associé à pour valeur propre de .
On appelle spectre de avec une matrice carrée de type l'ensemble des valeurs propres de .
En dimension infinie un endomorphisme n'a pas nécéssairement un indice
Proposition
Avec et deux polynômes,
Si deux endomorphismes commutent, alors le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.
La suite définie par
est croissante
Si a un indice fini , alors pour tout supérieur à , on a
Soit et deux polynômes, alors
Soit et deux polynômes premiers entre eux (i.e. de pgcd ), alors
.
Soit
des polynômes premiers deux à deux tels que
, alors
.
Les trois derniers ont valeur de théorèmes; on les regroupe souvent sous l'appelation lemme des noyaux.
Cela sert un peu partout, dans les résultats de réduction; citons par exemple la partie sur les suites récurrentes linéaires, , ou le théorème de diagonalisation .
Démonstration:
Les quatre premiers sont évidents.
Le 5ème se montre grâce à la propriété de Bezout.
Pour le 6ème , la somme est directe en vertu du précédent; et les
deux inclusions s'obtiennent par Bezout et par le premier .
Le dernier est facile à déduire du 6ème.
Proposition [Pratique de la réduction (sans hypothèse de dimension finie)]une somme finie de sous-espaces propres distincts est directe
une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes
est libre
si et sont deux endomorphismes qui commutent, alors les sous-espaces propres de sont stables par
un
-espace vectoriel et 
un endomorphisme de 
. On se donne
un polynôme appartenant à
![$ \mathbb{K}[X]$](/b/c/k/img10.png){kind=small}
;
.
On dit que 
, sous-espace vectoriel de 
tel que
, alors le 
l'endomorphisme qui à 
associe
.
![$ \mathbb{K}[f]$](/b/c/k/img20.png){kind=small}
l'ensemble des 
pour
![$ Q \in \mathbb{K}[X]$](/b/c/k/img22.png){kind=small}
; c'est une algèbre commutative (sous-algèbre de l'algèbre des endomorphismes 
)
(c'est un idéal
.
, il est engendré par un polynôme unitaire
.
tel que
ne soit pas injectif; dans ce cas
est appelé sous-espace propre
.
une valeur propre d'endomorphisme de
canoniquement associé à 
En dimension infinie un endomorphisme n'a pas nécéssairement un indice
deux polynômes,
définie par
est croissante
supérieur à 
), alors
.
des polynômes premiers deux à deux tels que
, alors
.
Cela sert un peu partout, dans les résultats de réduction; citons par exemple la partie sur les suites récurrentes linéaires, ![[*]](/images/crossref.png)
sont deux endomorphismes qui commutent, alors les sous-espaces propres de ![$ \forall ({\lambda},P) \in Sp(f)\times \mathbb{K}[X] \rightarrow P({\lambda})\in Sp(P(f))$](/b/c/k/img52.png){kind=small}
, alors
, alors
