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Le cas général

Définition Soit $ E$ un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel et $ f$ un endomorphisme de $ E$; c'est-à-dire $ f \in L(E)$. On se donne $ P$ un polynôme appartenant à $ \mathbb{K}[X]$; $ P=\sum_i p_i.X^i$.

Alors:

$ \bullet\ $On dit que $ F$, sous-espace vectoriel de $ E$, est stable par $ f$ si et seulement si $ f(F) \subset F$

$ \bullet\ $Si il existe $ n$ tel que $ Ker\ f_n=Ker\ f_{n+1}$, alors le $ n$ minimal vérifiant cette propriété est appelé indice de $ f$.

$ \bullet\ $On note $ P(f)$ l'endomorphisme qui à $ x$ associe $ \sum_i p_i.f^i(x)$.

$ \bullet\ $On note $ \mathbb{K}[f]$ l'ensemble des $ Q(f)$ pour $ Q \in \mathbb{K}[X]$; c'est une algèbre commutative (sous-algèbre de l'algèbre des endomorphismes $ L(E)$)

$ \bullet\ $On appelle idéal annulateur de $ f$ l'ensemble des $ Q \in \mathbb{K}[X]$ tels que $ Q(f)=0$ (c'est un idéal, les matheux sont pas encore assez vicieux pour nous faire cette mauvaise blague). On le note $ {\cal I}(f)$. $ \mathbb{K}[X]$ étant principal, si $ {\cal I}(f)$ est non réduit à $ \{0\}$, il est engendré par un polynôme unitaire que l'on appellera polynôme minimal de $ f$ et que l'on notera $ P_f$.

$ \bullet\ $On appelle valeur propre de $ f$ un scalaire $ {\lambda}$ tel que $ f-{\lambda}.I$ ne soit pas injectif; dans ce cas $ E_f({\lambda})=Ker\ f-{\lambda}.I$ est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre $ {\lambda}$.

$ \bullet\ $On appelle spectre de $ f$ l'ensemble des valeurs propres de $ f$. On le note $ Sp(f)$.

$ \bullet\ $On appelle vecteur propre de $ f$ associé à la valeur propre $ {\lambda}$ un élément non nul du sous-espace propre associé à la valeur propre $ {\lambda}$.

$ \bullet\ $On appelle valeur propre de $ M$ avec $ M$ une matrice carrée de type $ (n,n)$ une valeur propre d'endomorphisme de $ \mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $ M$.

$ \bullet\ $On appelle sous-espace propre de $ M$ associé à $ {\lambda}$ avec $ M$ une matrice carrée de type $ (n,n)$ l'espace propre de l'endomorphisme de $ \mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $ M$ pour $ {\lambda}$ valeur propre de $ M$.

$ \bullet\ $On appelle spectre de $ M$ avec $ M$ une matrice carrée de type $ (n,n)$ l'ensemble des valeurs propres de $ M$.

Attention! En dimension infinie un endomorphisme n'a pas nécéssairement un indice

Proposition

$ \bullet\ $Avec $ P$ et $ Q$ deux polynômes, $ PQ(u)=P(u) \circ Q(u)=Q(u) \circ P(u)$

$ \bullet\ $Si deux endomorphismes commutent, alors le noyau et l'image de l'un sont stables par l'autre.

$ \bullet\ $La suite $ F_n$ définie par $ F_n=Ker\ f^n$ est croissante

$ \bullet\ $Si $ f$ a un indice fini $ n$, alors pour tout $ i$ supérieur à $ n$, on a $ F_{i+1}=F_i$

$ \bullet\ $Soit $ P$ et $ Q$ deux polynômes, alors $ Ker\ P(f) \cap Ker\ Q(f)=Ker\ ((P\land Q)(f))$

$ \bullet\ $Soit $ P$ et $ Q$ deux polynômes premiers entre eux (i.e. de pgcd $ 1$), alors $ Ker\ (PQ)(f)=Ker\ P(f) \oplus Ker\ Q(f)$.

$ \bullet\ $Soit $ P_1,...,P_p$ des polynômes premiers deux à deux tels que $ \Pi P_i(f)=0$, alors $ E=\oplus \ Ker\ P_i(f)$.

Les trois derniers $ \bullet\ $ont valeur de théorèmes; on les regroupe souvent sous l'appelation lemme des noyaux.

Application(s)... Cela sert un peu partout, dans les résultats de réduction; citons par exemple la partie sur les suites récurrentes linéaires, [*], ou le théorème de diagonalisation [*].

Démonstration: Les quatre premiers $ \bullet\ $sont évidents.

Le 5ème $ \bullet\ $se montre grâce à la propriété de Bezout.

Pour le 6ème $ \bullet\ $, la somme est directe en vertu du $ \bullet\ $précédent; et les deux inclusions s'obtiennent par Bezout et par le premier $ \bullet\ $.

Le dernier $ \bullet\ $est facile à déduire du 6ème. $ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition [Pratique de la réduction (sans hypothèse de dimension finie)] $ \bullet\ $une somme finie de sous-espaces propres distincts est directe

$ \bullet\ $une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre

$ \bullet\ $si $ f$ et $ g$ sont deux endomorphismes qui commutent, alors les sous-espaces propres de $ f$ sont stables par $ g$

$ \bullet\ $ $ \forall ({\lambda},P) \in Sp(f)\times \mathbb{K}[X] \rightarrow P({\lambda})\in Sp(P(f))$

$ \bullet\ $Si $ P(f)=0$, alors $ {\lambda}\in Sp(f) \to P({\lambda})=0$

$ \bullet\ $Si $ f \in GL(E)$, alors $ Sp(u^{-1})=\{\frac1{{\lambda}} / {\lambda}\in Sp(u) \}$



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C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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