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Le cas de la dimension finie

Dans le cas de la dimension finie, la réduction d'un endomorphisme va consister en la recherche d'une base dans laquelle l'endomorphisme est diagonale, ou, à défaut, triangulaire.

On a vu ci-dessus que pour décomposer un endomorphisme il fallait trouver ses sous-espaces propres et ses valeurs propres. Cela est très lié au polynômes annulateurs de l'endomorphisme; mais dans le cas général, il y a assez peu de choses à dire. Nous allons voir que la dimension finie est beaucoup plus pratique.

Voyons tout d'abord une liste de propriétés élémentaires très utiles pour la suite:

Proposition

$ \bullet\ $En dimension finie, tout endomorphisme a un indice, inférieur ou égal à la dimension.

$ \bullet\ $En dimension finie, l'indice est aussi le plus petit $ n$ tel que $ Im\ f^n=Im\ f^{n+1}$

$ \bullet\ $En dimension finie, avec $ n$ l'indice de $ f$, $ E=Ker\ f^n \oplus Im\ f^n$

$ \bullet\ $En dimension finie, tout endomorphisme admet un idéal annulateur non réduit à 0, et donc admet un polynôme minimal.

$ \bullet\ $Si $ F$ est un sous-espace vectoriel de $ E$, si $ (e_1,...,e_p,e_{p+1},...,e_n)$ est une base de $ E$ avec $ (e_1,...,e_p)$ une base de $ F$, alors $ F$ est stable par $ f$ si et seulement si la matrice de $ f$ dans la base $ (e_1,...,e_n)$ est de la forme suivante

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} A & B \\ 0 & D \end{array} \right)$

avec $ A$ une matrice de type $ (p,p)$, $ B$ une matrice de type $ (p,n-p)$, $ D$ une matrice de type $ (n-p,n-p)$.

$ \bullet\ $Si $ F_1$, $ F_2$, ... et $ F_p$ sont des sous-espaces vectoriels de $ E$ tels que $ E=\oplus F_i$, alors les $ F_i$ sont stables par $ f$ si et seulement si la matrice de $ f$ dans une base constituée d'une base de $ F_1$, suivie d'une base de $ F_2$, ..., suivie d'une base de $ F_p$, est de la forme

$\displaystyle \left(\begin{array}{ccccccc}
M_1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ...
... 0 & 0 & 0 & 0 &M_{p-1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & M_p
\end{array}\right)$

avec $ M_i$ de type $ (dim\ F_i,dim\ F_i)$.


On va maintenant introduire quelques définitions intéressantes dans le cadre de la dimension finie.

Définition [Définitions dans le cadre de la réduction en dimension finie] $ \bullet\ $On appelle polynôme caractéristique d'une matrice carrée $ M$ le polynôme $ det(X.I-M)$.

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique de la matrice d'un endomorphisme en dimension finie (le polynôme caractéristique n'est défini que dans ce cadre là) est indépendant de la base choisie; on l'appelle polynôme caractéristique de cet endomorphisme.

On note $ \chi_M$ le polynôme caractéristique de la matrice $ M$ et $ \chi_f$ le polynôme caractéristique de l'endomorphisme $ f$.


Voyons maintenant quelques propriétés fondamentales de ces notions, toujours dans le cadre de la réduction en dimension finie; la preuve, très simple, n'est pas donnée.

Proposition $ \bullet\ $Le polynôme caractéristique d'une matrice $ M$ est un polynôme (preuve en considérant la définition première du déterminant).

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique d'une matrice $ M$ de type $ (n,n)$ est de degré $ n$, de coefficient dominant $ 1$ (preuve là aussi en considérant la définition du déterminant, et en cherchant l'unique permutation qui donne le terme de degré $ n$ dans le polynôme caractéristique). Le second coefficient est $ -tr\ M$.

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique d'une matrice $ M$ est le polynôme caractéristique de toute matrice $ N$ semblable à $ M$.

$ \bullet\ $L'ensemble des valeurs propres d'un endomorphisme en dimension finie est égal à l'ensemble des 0 de son polynôme caractéristique.

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique de $ M$ est égal au polynôme caractéristique de $ ^tM$.

$ \bullet\ $$ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $ F$ sous-espace vectoriel de $ E$, $ f$ endomorphisme de $ E$, $ F$ stable par $ f$, alors $ \chi_{f_{\vert F}} \vert \chi_f$

$ \bullet\ $Dans un $ \mathbb{C}$-espace vectoriel de dimension finie $ \geq 1$, tout endomorphisme admet au moins une valeur propre.

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique d'une matrice $ M$ de type $ (2,2)$ est $ X \mapsto X^2-tr\ M.X+det\ M$

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique d'une matrice $ M$ de type $ (3,3)$ est $ X \mapsto X^3-tr\ M.X^2-tr\ com(M).X -det\ M$

$ \bullet\ $Le polynôme caractéristique d'une matrice $ M$ triangulaire de type $ (n,n)$ est $ \Pi_{i=1}^n (X-M_{i,i})$


Définition On appelle ordre d'une valeur propre d'un endomorphisme en dimension finie le degré de multiplicité de cette valeur propre comme racine du polynôme caractéristique.

On appelle sous-espace caractéristique associé à la valeur propre $ {\lambda}$ de l'endomorphisme $ f$ d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$ de dimension finie le sous-espace vectoriel $ Ker\ (f-{\lambda}.I)^m$ avec $ m$ l'ordre de multiplicité de $ {\lambda}$ comme racine du polynôme caractéristique de $ f$.

Un endomorphisme en dimension finie est dit diagonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice diagonale.

Une matrice en dimension finie est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c'est-à-dire si elle représente un endomorphisme diagonalisable.

Un endomorphisme en dimension finie est dit trigonalisable si il existe une base dans laquelle cet endomorphisme se représente par une matrice triangulaire.

Une matrice en dimension finie est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire, c'est-à-dire si elle représente un endomorphisme trigonalisable.


Attention! Toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une certaine matrice triangulaire inférieure et toute matrice triangulaire inférieure est semblable à une certaine matrice triangulaire supérieure, comme on s'en convaincra simplement en changeant l'ordre des éléments d'une base; ainsi lorsqu'un endomorphisme est trigonalisable, on pourra en considérer indifféremment une représentation triangulaire supérieure ou inférieure.

Notons que tout sous-espace caractéristique de $ f$, endomorphisme en dimension finie, est stable par $ f$.

Passons maintenant à quelques "gros" résultats de réduction en dimension finie.

Théorème Un endomorphisme $ f$ de $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si l'une des conditions suivantes est vérifiée:

$ \bullet\ $$ E$ est somme directe des sous-espaces propres

$ \bullet\ $il existe une base de $ E$ formée de vecteurs propres de $ f$

$ \bullet\ $$ \chi_f$ est scindé dans $ \mathbb{K}[X]$ et la dimension de tout sous-espace propre est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée.


Démonstration: Les deux premiers $ \bullet\ $sont évident.

Le troisième est plus intéressant:

- la condition est suffisante, car la somme des sous-espaces propres est toujours directe, et la somme des dimensions des sous-espaces propres est bien la dimension de l'espace, donc l'espace est bien somme directe des sous-espaces propres.

- la condition est nécéssaire; on le voit de manière évidente en considérant une matrice diagonale pour laquelle la matrice de $ f$ est diagonale.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ \chi_f$ est scindé à racines simples, alors $ f$ est diagonalisable.

Démonstration: Si chaque valeur propre est d'ordre $ 1$, forcément l'espace propre associé est de dimension $ 1$; donc ce corollaire découle immédiatement du théorème précédent.$ \sqcap$$ \sqcup$

On va voir un renforcement de ce corollaire ci-dessous.

Théorème Un endomorphisme $ f$ de $ E$ $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si et seulement si il existe $ P$ polynôme scindé à racines simples tel que $ P(f)=0$.

Démonstration: $ \bullet\ $Si il existe un tel $ P$, alors $ E$ est la somme directe des $ Ker\ f-{\lambda}.I$ pour $ {\lambda}$ dans l'ensemble des racines de $ P$ (voir le lemme des noyaux, proposition [*]). Donc $ f$ est diagonalisable, clairement.

$ \bullet\ $Si $ f$ est diagonalisable, alors le polynôme caractéristique est scindé et la dimension de chaque espace propre est l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée comme racine de ce polynôme (d'après le théorème précédent).

On peut alors écrire $ \chi_F=\Pi (X-x_i)^{r_i}$ avec les $ x_i$ distincts deux à deux; considérons $ P=\Pi (X-x_i)$. $ P$ est scindé à racines simples. Il reste à voir que $ P(f)=0$.

$ E$ est la somme directe des $ Ker\ f-x_i.I$. Soit $ x$ appartenant à $ Ker\ f-x_{i_0}.I$; on a $ f(x)=x_{i_0}.x$. $ P(f)(x)=\Pi_{i\neq i_0} (y \mapsto f(y)-x_i.y) \circ ( y \mapsto f(y)-x_{i_0}.y )^{r_{i_0}-1}\ ( f(x)-x_i.x )=0$. Donc $ P(f)$ est nul sur des sous-espace vectoriel dont la somme est $ E$; donc $ P(f)$ est nul.$ \sqcap$$ \sqcup$

Finalement, voici la méthodologie de la diagonalisation :

$ \bullet\ $On se donne $ f$, endomorphisme d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $ n$.

$ \bullet\ $On détermine le polynôme caractéristique de $ f$

$ \bullet\ $Si $ \chi_F$ n'est pas scindé, alors on ne peut pas diagonaliser

$ \bullet\ $Si $ \chi_F$ est scindé, pour chaque valeur propre $ {\lambda}$, on cherche si $ E_f({\lambda})=Ker\ (f-{\lambda}.I)$ est de dimension l'ordre de $ {\lambda}$

$ \bullet\ $Si oui, on obtient une base dans laquelle l'endomorphisme est diagonal en réunissant des bases des sous-espaces propres

$ \bullet\ $Dans le cas contraire, l'endomorphisme n'est pas diagonalisable; on essaie alors de trigonaliser (voir plus loin).

On peut ajouter quelques remarques permettant de simplifier la détermination de la diagonalisabilité d'une matrice:

$ \bullet\ $une matrice $ M$ est diagonalisable si pour tout $ {\lambda}\in \mathbb{K}$ $ M+{\lambda}.I$ est diagonalisable; si $ P^{-1}.(M+{\lambda}.I).P=D$, alors $ P^{-1}.M.P=D+{\lambda}.I$

$ \bullet\ $La restriction d'un endomorphisme diagonalisable à un sous-espace stable est diagonalisable (en effet la diagonalisabilité d'un endomorphisme équivaut à l'existence d'un polynôme scindé à racines simples annulant cet endomorphisme)

Maintenant le théorème fondamental de la trigonalisation:

Théorème Un endomorphisme en dimension finie est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.

Démonstration: Il est évident que si l'endomorphisme est trigonalisable, alors son polynôme caractéristique est scindé. La réciproque est donc le problème intéressant. Soit $ f$ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$ de dimension finie.

On procède par récurrence sur la dimension de l'espace. En dimension $ 1$ le résultat est clair; on suppose maintenant le résultat vrai jusqu'en dimension $ n-1$, et on suppose $ E$ de dimension $ n$.

Le polynôme caractéristique de $ f$ étant scindé, il possède une racine, disons $ {\lambda}$. Soit $ e_1$ un vecteur propre associé à $ {\lambda}$, et complétons de manière à avoir $ (e_1,...,e_n)$ une base de $ E$.

La matrice de $ f$ dans cette base est une matrice $ (n,n)$ de la forme

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc}
{\lambda}& * & \dots & * \\
0 & M_{1...
...ts &\vdots & \vdots \\
0 & M_{n-1,1}& \dots & M_{n-1,n-1}
\end{array}\right)
$

La matrice $ M$ a un polynôme caractéristique scindé, comme on s'en convaincra facilement en considérant la définition du déterminant.

Par la propriété de récurrence, $ M$ est donc trigonalisable; $ PMP {-1}=T$, avec $ T$ matrice triangulaire supérieure.

Alors on considère le produit suivant:

$\displaystyle \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & P_{1,1} & \do...
...s & \vdots \\ 0 & P^{-1}_{n-1,1}& \dots & P^{-1}_{n-1,n-1} \end{array} \right) $

$\displaystyle = \left(\begin{array}{cccc} 1 & * & \dots & * \\ 0 & T_{1,1} & \d...
...ots &\vdots & \vdots \\ 0 & T_{n-1,1}& \dots & T_{n-1,n-1} \end{array} \right) $

(les $ *$ représentant des scalaires quelconques)

Le résultat est ainsi établi.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire

Toute matrice à coefficients complexes est trigonalisable dans $ M_n(\mathbb{K})$.

Démonstration: Rappelons juste le théorème de D'Alembert-Gauss: un polynôme à coefficients complexes est scindé sur $ \mathbb{C}$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Ce dernier théorème va permettre de démontrer un théorème important, le théorème de Cayley-Hamilton:

Théorème [Cayley-Hamilton] Soit $ f$ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Alors $ \chi_f(f)=0$.

Démonstration:

$ \bullet\ $On montre tout d'abord le résultat pour $ \mathbb{K}=\mathbb{C}$. Ensuite, puisque le polynôme caractéristique d'une matrice à coefficients réels est le même que l'on la considère comme matrice réelle ou complexe, et puisqu'un endomorphisme est nul si et seulement si sa matrice associée est nulle, le résultat sera aussi valable pour $ \mathbb{K}=\mathbb{R}$.

$ \bullet\ $$ \chi_f$ est un polynôme scindé, puisque l'on travaille dans $ \mathbb{C}$; donc on peut trigonaliser $ f$.

$ \bullet\ $On se donnne $ (e_1,...,e_n)$ une base dans laquelle $ f$ est représenté par une matrice triangulaire supérieure.

$ \bullet\ $On note $ \chi_f=\Pi_{i=1}^n (X-x_i)$, avec $ x_i$ le i-ième terme sur la diagonale de la matrice de $ f$ dans la base $ (e_1,...,e_n)$.

$ \bullet\ $On note $ P_i=\Pi_{j=1}^n (X-x_i)$.

$ \bullet\ $On considère la propriété $ P(i)$ définie par $ P(i) \iff \forall j \in [1,i] P_i(e_j)=0$; on montre facilement par récurrence qu'elle est vraie pour tout $ i$ compris entre $ 1$ et $ n$.$ \sqcap$$ \sqcup$

Proposition

Si le polynôme caractéristique est scindé, la dimension d'un sous-espace caractéristique est égale à l'ordre de multiplicité de la valeur propre associée.


Démonstration:

Pendant l'ensemble de la preuve, on note $ I_p$ la matrice identité à $ p$ lignes et $ p$ colonnes.

$ \bullet\ $Notons $ f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel $ E$ de dimension $ n$, de polynôme caractéristique scindé.

$ \bullet\ $Soit $ F$ sous-espace caractéristique associé à la valeur propre $ {\lambda}$ de multiplicité $ m$.

$ \bullet\ $Dans une certaine base, $ f$ est représenté par une matrice triangulaire supérieure (théorème [*]). Soit $ M$ cette matrice:

$\displaystyle M=\left( \begin{array}{cc} {\lambda}.Id_m+N & P \\ 0 & Q \end{array}\right)$

$ N$ est triangulaire supérieure à diagonale nulle, $ P$ quelconque, $ Q$ triangulaire supérieure (n'admettant pas $ {\lambda}$ pour valeur propre).

$ \bullet\ $Une vérification immédiate révèle alors que $ (f-{\lambda}Id_n)^m$ est représenté par la matrice suivante ($ N$ est nilpotente d'indice de nilpotence $ <m$):

$\displaystyle \left( \begin{array}{cc} 0 & P' \\ 0 & (Q-{\lambda}.Id_{n-m})^m \end{array} \right)$

$ \bullet\ $On en déduit donc que le rang de $ (f-{\lambda}Id_n)^m$ est $ n-m$ (rappelons que $ {\lambda}$ n'est pas valeur propre de $ Q$).

$ \bullet\ $On a donc bien $ dim\ F=n-(n-m)=m$.$ \sqcap$$ \sqcup$

On peut alors passer au théorème suivant, fournissant une jolie représentation d'un endomorphisme trigonalisable:

Théorème Soit $ f$ un endomorphisme d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$ de dimension finie $ n$. Alors $ E$ est la somme directe des sous-espaces caractéristiques associés à $ f$, et dans une certaine base $ f$ a pour matrice

\begin{displaymath}\left(
\begin{array}{ccccc}
M_1 & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 &...
...\ddots & 0 \\
0 & \dots & 0 & 0 & M_l \\
\end{array}\right)
\end{displaymath}

avec $ M_i$ une matrice triangulaire supérieure de type $ (m,m)$ comportant seulement des $ {\lambda}_i$ sur la diagonale et avec $ m$ l'ordre de $ {\lambda}_i$.

Application(s)... Le corollaire qui suit, et la partie [*] de calcul de l'exponentielle d'un endomorphisme donnent des applications à ce résultat.

Démonstration: Il suffit de considérer les espaces caractéristiques; leur somme est directe et égal à $ E$ (par le théorème de Cayley-Hamilton), ils sont stables par $ f$, on peut donc considérer les restrictions aux différents sous-espaces caractéristiques.

D'où le résultat.$ \sqcap$$ \sqcup$

Corollaire Si $ f$ est un endomorphisme de polynôme caractéristique scindé d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$ de dimension finie $ n$, alors $ f$ s'écrit de manière unique comme somme d'un endomorphisme diagonalisable et d'un endomorphisme nilpotent, qui commutent .

Démonstration: L'existence de cette écriture est facile; il suffit de considérer la matrice $ M$ donnée par le théorème précédent, et d'écrire $ M=D+N$, avec $ D$ une matrice diagonale, et $ N$ une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle.

L'unicité sera ici admise.$ \sqcap$$ \sqcup$

Voyons maintenant la méthodologie de la trigonalisation; elle fait suite à celle de la diagonalisation, dans le cas où la diagonalisation est impossible. En fait on ne va pas simplement chercher à trigonaliser; on va essayer si possible d'obtenir une décomposition comme celle proposée dans le théorème [*].

On se donne un endomorphisme $ f$ d'un $ \mathbb{K}$-espace vectoriel $ E$ de dimension $ n$.

$ \bullet\ $On cherche si le polynôme caractéristique est scindé. S'il ne l'est pas, $ f$ n'est pas trigonalisable

$ \bullet\ $On détermine les sous-espaces caractéristiques

$ \bullet\ $On détermine une base de chacun de ces sous-espaces, dans laquelle la restriction de l'endomorphisme est représentée par une matrice triangulaire supérieure; cela se fait par récurrence, comme on peut le voir dans la démonstration du théorème [*].

$ \bullet\ $On prend la réunion de ces bases, et on a une représentation comme souhaitée.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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