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Application au calcul d'un polynôme d'endomorphisme

On se donne $ M$ la matrice de l'endomorphisme $ f$ d'un espace vectoriel de dimension finie $ n$. Son polynôme caractéristique est appelé $ P$.

Par le théorème de Cayley-Hamilton

Alors supposons que l'on cherche $ Q(f)$, avec $ Q$ un polynôme de $ \mathbb{K}[X]$. On détermine alors la division euclidienne $ Q=P.A+B$.

$\displaystyle Q(f)=P(f).A(f)+B(f)=B(f)$    car $\displaystyle P(f)=0$

Il suffit donc ensuite d'avoir préalablement calculé les $ M^k$ pour $ k\in [0,n-1]$.

Par diagonalisation

On suppose ici que $ M$ est diagonalisable. Si $ M=L.D.L^{-1}$, alors $ Q(M)=L.Q(D).L^{-1}$; si $ D$ est choisie diagonale, $ Q(D)$ est donc vite calculée. Cette méthode est efficace seulement si il s'agit de calculer de nombreuses fois des polynômes d'un même endomorphisme; lorsque l'on change d' endomorphisme à chaque fois, la diagonalisation est trop laborieuse.



C_Antonini,J_F_Quint,P_Borgnat,J_Bérard,E_Lebeau,E_Souche,A_Chateau,O_Teytaud
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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