On suppose donnée une matrice , de polynôme caractéristique scindé (hypothèse
peu restrictive dans la mesure où l'on considère éventuellement la clotûre algébrique).
On cherche à calculer l'exponentielle de .
peut être trigonalisée, dans une base constituée d'une réunion de bases d'espaces
caractéristiques; avec la matrice de passage correspondante,
est donné
par la proposition ; une matrice diagonale par blocs, chaque bloc étant
somme d'une homothétie et d'un nilpotent.
On a alors
. Le calcul de peut se faire par blocs.
Il suffit donc d'être capable de calculer
, avec nilpotent.
Pour cela il suffit de constater que
car et commutent, et que
, de polynôme caractéristique scindé (hypothèse
peu restrictive dans la mesure où l'on considère éventuellement la clotûre algébrique).
la matrice de passage correspondante,
est donné
par la proposition ![[*]](/images/crossref.png)
. Le calcul de 
peut se faire par blocs.
Il suffit donc d'être capable de calculer
, avec 
nilpotent.
car 
et 
; on est ainsi ramené à une somme finie.
