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Formes multilinéaires

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit

\begin{displaymath}f:\underbrace{E\times....\times E}_{p  fois}\rightarrow k.\end{displaymath}

$f$ est une forme p-linéaire ou une forme multilinéaire ( ou encore une p-forme linéaire) sur E si pour tout i=1,...,p, pour tout x$_1$,...,x$_{i-1}$,x$_{i+1}$,...,x$_p\in$E, l'application x $\rightarrow f(x_1,....,x_{i-1},x,x_{i+1},...x_p)$ est linéaire de E dans k. On note $\cal L$$^{p}$(E) l'ensemble des p-formes linéaires sur E.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. L'ensemble des p-formes linéaires sur E, $\cal L$$^{p}$(E) muni de l'addition des fonctions à valeurs dans k et de la multiplication par un scalaire a une structure de k-espace vectoriel.

Démonstration On montre sans peine que c'est un sous espace vectoriel de l'espace des fonctions définies sur E et à valeurs dans k.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit f une forme p-linéaire définie sur un k-espace vectoriel E. Si p=2, on dit que f est une forme bilinéaire. Si p=3, on dit que f est une forme trilinéaire.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite alternée si pour tout (x$_1$,...,x$_p$)$\in$E$^{p}$ vérifiant $\exists i,j \in \{1,...,p\},   i \neq j$ x$_i$=x$_j$, alors f(x$_1$,...,x$_p$)=0. L'ensemble des formes p-linéaires alternées sur E est notée $\cal A$$^p$(E).

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite symétrique si pour tout (x$_1$,...,x$_p$)$\in$E$^{p}$, pour tout i,j $ \in \{1,...,p\},   i \neq j$ alors f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_j$,...,x$_p$) = f(x$_1$,...,x$_j$,...,x$_i$,...,x$_p$).

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Une forme p-linéaire est dite antisymétrique si pour tout (x$_1$,...,x$_p$)$\in$E$^{p}$, pour tout i,j $ \in \{1,...,p\},   i \neq j$ alors f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_j$,...,x$_p$) = -f(x$_1$,...,x$_j$,...,x$_i$,...,x$_p$).

Proposition Si f est une p-forme linéaire antisymétrique et si k est un corps de caractéristique différente de 2 alors f est alternée.

Démonstration Comme f est antisymétrique, pour tout (x$_1$,...,x$_p$)$\in$E$^{p}$ et pour tout i,j $ \in \{1,...,p\},   i \neq j$ alors f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_j$,...,x$_p$)=-f(x$_1$,...,x$_j$,...,x$_i$,...,x$_p$). Supposons que x$_i$=x$_j$. L'égalité précédente devient: f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_i$,...,x$_p$)=-f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_i$,...,x$_p$), soit 2. f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_i$,...,x$_p$)=0, ce qui donne, k étant de caractéristique différente de 2 : f(x$_1$,...,x$_i$,...,x$_i$,...,x$_p$) = 0.

Avant de continuer, effectuons deux petits rappels à propos du groupe des permutations d'un ensemble fini.

Rappel 1:

  • L'ensemble des bijections $\sigma:\{1,...,p\} \rightarrow \{1,...,p\}$ est noté S$_p$. Une telle bijection est appelée une permutation de $\{1,...,p\}$.
  • S$_p$ muni de la loi de composition des applications possède une structure de groupe.
  • Une permutation préservant tout les éléments de $\{1,...,p\}$ sauf deux qu'elle permute est appelée une transposition. Toute permutation est produit de transposition. Le nombre de transposition intervenant dans cette décomposition est indépendant de la décomposition (en transposition) choisie.
$ $

Rappel 2:

  • Il existe une morphisme de groupe surjectif $\varepsilon:$S $_p\rightarrow\{-1,1\}$$\{-1,1\}$ est muni de sa struture multiplicative. L'image de $\varepsilon$ sur une permutation est appelée la signature de cette permutation.
  • Si $\sigma$ est élément de S$_p$ alors $\varepsilon(\sigma)=(-1)^{n}$ où n est le nombre de transposition dans une décomposition de $\sigma$ en produit de transposition.
$ $

Proposition Soit f une forme p-linéaire alternée définie sur un k-espace vectoriel E. Soient v$_1$,...,v$_p$, p vecteurs de E. Soit aussi $\sigma$ un élément de S$_p$. Alors

\begin{displaymath}f(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(p)})=\varepsilon(\sigma)f(v_1,...,v_p).\end{displaymath}


Démonstration Comme les permutations sont des produits de transposition, il suffit de montrer cette égalité pour une transposition. Soit i,j $ \in \{1,...,p\},   i \neq j$ et soit $\tau$ la transposition de $\{1,...,p\}$ qui échange i et j. On a clairement:

\begin{displaymath}f(v_{\tau(1)},...,v_{\tau(i),...,}v_{\tau(j)},...,v_{\tau(p)})=\end{displaymath}


\begin{displaymath}f(v_1,...,v_j,...,v_i,...,v_p)=\end{displaymath}


\begin{displaymath}-f(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_p).\end{displaymath}


Proposition L'ensemble des p formes linéaires alternées sur le k-espace vectoriel E $\cal A$$^p$(E) est un sous espace vectoriel de l'espace vectoriel des p-formes linéaires sur E $\cal L$$^p$(E).

Démonstration Il suffit de vérifier que la p-forme nulle est bien élément de $\cal A$$^p$(E) et que la combinaison linéaire de deux formes linéaires alternées est encore une p-forme linéaire alternée.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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