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Dimension de $\cal A$$^p$(E) et déterminant

Proposition E désigne un k-espace vectoriel de dimension finie et p un entier naturel. Si p est plus grand que la dimension de E alors $\cal A$$^p$(E)= $\lbrace 0 \rbrace$.

Démonstration Soit $f\in$$\cal A$$^p$(E) et soient v$_1$,...,v$_p$, p vecteurs non nuls de E. Comme E est de dimension finie n<p, l'un des vecteurs v$_p$ par exemple est combinaison linéaire des p-1 autres vecteurs. Il existe donc $\alpha_1,...,\alpha_{p-1}$ dans k tels que

\begin{displaymath}v_p=\displaystyle{\sum_{i=1}^{p-1} \alpha_i v_i}.\end{displaymath}

On peut alors écrire:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{p-1} f(v_1,...,v_{p-1},vi).}\end{displaymath}

Mais comme f est alternée, pour tout i=1,...,p-1, $f(v_1,...,v_{p-1},vi)$=0. On a prouvé que $f(v_1,...,v_p)$=0. Cela étant vrai pour toutes familles de p vecteurs de E v$_1$,....,v$_p$, $f$ est identiquement nulle sur E.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. L'ensemble des n-formes linéaires alternées sur E: $\cal A$$^n$(E) est de dimension 1 sur k.

Démonstration Considérons une base e=(e$_i$)$_{i=1,...,n}$ de E. Considérons d'autre part une n forme linéaire alternée $f$ sur E ainsi qu'un n-uplets (v$_1$,...,v$_n$) de vecteurs de E. Pour i=1,...,n et j=1,...,n il existe des scalaires $\alpha_{ij} \in$k tels que pour tout j=1,...,p, $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}.$ Considérons aussi l'ensemble $\cal P$ des suites à n éléments et à valeurs dans $\{1,...,n\}$. On peut alors écrire:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{(i_k)_{k=1,...,n}\in {\cal...
...pha_{i_1 1}.  ...   . \alpha_{i_n n} f(e_{i_1},...,e_{i_n})}.\end{displaymath}

Remarquons qu'il existe une bijection évidente entre $\cal P$ et S$_n$. Cette bijection est celle qui à une suite (i$_k$)$_{k=1,...,n}$ de $\cal P$ associe la permutation qui envoie l'entier m sur l'entier i$_m$. Via cette remarque, on peut écrire:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \alpha_{\s...
...   . \alpha_{\sigma(n) n} f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})}.\end{displaymath}

$f$ étant alternée, pour tout $\sigma \in$S$_n$,

\begin{displaymath}f(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)f(v_1,...,v_n).\end{displaymath}

Donc:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \alpha_{\s...
...   . \alpha_{\sigma(n) n} \varepsilon(\sigma) f(e_1,...,e_n)}.\end{displaymath}

Soit encore:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=(\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \alpha_{\...
...   . \alpha_{\sigma(n) n} \varepsilon(\sigma) f(e_1,...,e_n)}.\end{displaymath}

et posant

\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}.  ...   . \alpha_{\sigma(n) n}}\end{displaymath}

v$_1$,...,v$_n$ étant n vecteurs quelconques dans E:

\begin{displaymath}f= f(e_1,...,e_n). \Pi.\end{displaymath}

Il faut montrer que $\Pi$ est une forme multilinéaire et alternée. On vérifie sans peine que $\Pi$ est multilinéaire. Soient v$_1$,....,v$_n$ n vecteurs de E et i,j $\in$${\mathbb{N}}$tels que i<j et tels que v$_i$=v$_j$.

\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \...
..... .   . \alpha_{\sigma(j) j}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alp...
.... .   . \alpha_{\sigma(j) i}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}

Soit $\tau$ la transposition qui échange i et j. $\tau$ préserve tout les autres éléments de $\{1,...,n\}$. Donc

\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \...
...alpha_{\sigma(\tau(j) i}.  ...  . \alpha_{\sigma(\tau(n) n}}.\end{displaymath}

Comme $\tau$=$\tau$$^{-1}$, et $\varepsilon(\sigma \circ \tau)=-\varepsilon(\sigma)$,

\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \...
...\alpha_{\sigma(\tau(j) i}.  ...  . \alpha_{\sigma(\tau(n) n}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}= -\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \a...
.... .   . \alpha_{\sigma(j) i}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}

En conclusion

\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alph...
.... .   . \alpha_{\sigma(j) i}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}

Donc $\Pi(v_1,...,v_n)=0$ et $\Pi$ est bien alternée.

Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit e=(e$_1$,...,e$_n$) une base de E.. On appelle application déterminant dans la base e l'application multilinéaire alternée qui à n vecteurs v$_j$ j=1,...,n de E d'écriture $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}$ dans la base E associe la quantitée

\begin{displaymath}det_e(v_1,...v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \vareps...
.... .   . \alpha_{\sigma(j) j}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}


Démonstration Nous venons de démontrer que cette application est multilinéaire alternée.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit e=(e$_1$,...,e$_n$) une base de E et soit det$_e$ l'application déterminant associée à cette base. Alors det$_e$(e$_1$,...,e$_n$)=1.

Démonstration Il suffit de revenir à la définition du déterminant.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finien. Soit n la dimension de E et soit e=(e$_1$,...,e$_n$) une base de E. Soit f une application n-linéaire alternée. Soient aussi v$_1$,...,v$_n$ n vecteurs de E.

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=f(e_1,...,e_n).det_e(v_1,...,v_n).\end{displaymath}


Démonstration Cette proposition n'est rien d'autre que la ré-écriture de celle démontrée au début de ce paragraphe et qui donne la dimension de $\cal A$$^{n}$(E). Se reporter donc à la démonstration de cette proposition.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit n la dimension de E. Soit p$\in$${\mathbb{N}}$tel que p$\leq$n. Alors la dimension de $\cal A$$^p$(E) est donnée par dim $\cal A$$^p$(E)=C$_n^p$ où C$_n^p$ désigne le rapport $\frac{n!}{(n-p)!p!}$.

Démonstration Notons $\cal P$ l'ensemble des suites à p éléments distincts et à valeurs dans $\{1,...,n\}$. Une suite élément de $\cal P$ sera notée (i$_k$)$_{k=1,...,p}$. Soient v$_1$,...,v$_p$ p vecteurs de E. Pour i=1,...,n et j=1,...,p il existe des scalaires $\alpha_{ij} \in$k tels que pour tout j=1,...,p $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}.$ Si $f$ est une p-forme linéaire sur E,

\begin{displaymath}(*)\; f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{(i_k)_{k=1,...,p}\in...
...pha_{i_1 1}.  ...   . \alpha_{i_n p} f(e_{i_1},...,e_{i_n})}.\end{displaymath}

La somme précédente est donc prise sur l'ensemble des suites appartenant à $\cal P$. Etudions plus précisément $\cal P$. Une suite de $\cal P$ est caractérisée par:

  • L'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre.
  • L'ordre dans lequel elle prend ces valeurs.
Désignons par les entier k$_1$<...<k$_p$ les p valeurs pouvant être prises par une suite donnée de $\cal P$. Soient i$_1$,...,i$_p$ et i'$_1$,...,i'$_p$ deux suites de $\cal P$ prenant leur valeurs dans $\{k_1,...,k_p\}$. Il existe une unique permutation $\sigma$ de S$_p$ telle que i$_{\sigma(m)}$=i'$_m$ pour tout m=1,...,p. Réciproquement si i$_1$,....,i$_p$ est une suite de $\cal P$ et que $\sigma$ est une permutation de S$_p$, alors i$_{\sigma(1)}$,....,i$_{\sigma(p)}$ est une autre suite de $\cal P$ prenant ses valeurs dans le même ensemble que la suite (i$_k$)$_{k=1,...,p}$. Le sous ensemble de $\cal P$ des suites qui sont à valeur dans $\{k_1,...,k_p\}$ peut donc être décrit par l'ensemble $\{k_{\sigma(1)},...,k_{\sigma(p)}; \sigma \in S_p\}$. En conclusion $\cal P$ peut lui être décrit par:

\begin{displaymath}{\cal P}=\displaystyle{\bigcup_{1\leq k_1<...<k_p\leq n} \{k_{\sigma(1)},...,k_{\sigma(p)}; \sigma \in S_p\}}.\end{displaymath}

Ce partitionement de $\cal P$ permet une autre écriture de la somme (*):


\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;...
..._{k_{\sigma(n)} p} f(e_{k_{\sigma(1)}},...,e_{k_{\sigma(n)}})}.\end{displaymath}

Mais comme $f$ est alternée, ceci se ré-écrit:


\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;...
...{\sigma(n)} p} \varepsilon(\sigma) f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})}.\end{displaymath}

Ou encore:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;...
...gma(n)} p} \varepsilon(\sigma)) \; f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})}.\end{displaymath}

L'expression entre parenthèses est exactement égale à det $_{e_{k_1,...,k_p}}$(v$_{k_1}$,...,v$_{k_p}$). Notons ( pour 1$\leq$k$_1$<...<k$_p$<n) $\Pi_{k_1,...,k_p}$ l'application qui à un n-uplet (v$_1$,...,v$_n$) associe le p-uplet (v$_{k_1}$,...,v$_{k_p}$). Notons aussi e $_{k_1,...,k_p}$ la famille libre e$_{k_1}$,...,e$_{k_p}$. (*) admet comme écriture:

\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;...
... \Pi_{k_1,...,k_p}(v_1,...,v_n) \; f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})}.\end{displaymath}

Soit encore, (v$_1$,...,v$_n$) étant un n-uplet quelconque de vecteurs de E:


\begin{displaymath}f=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\; f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})\; det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p} }.\end{displaymath}

Ce qui est beaucoups plus sympathique.

On vérifie sans peine que les fonctions $det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p}$ sont des formes p-linéaires alternées. $\cal A$$^p$(E) est donc engendré par l'ensemble des formes $\cal F$= $\{ det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p}; 1\leq k_1<...<k_p \leq n\}$. Remarquons que l'ensemble des p uplets k$_1$,...,k$_p$ tels que 1$\leq$ k$_1$<...<k$_p$ $\leq$ n est de cardinal $C_n^p$. Donc $\cal F$ est de cardinal $C_n^p$. Montrons pour terminer que cette famille est libre. Considérons une famille de scalaires ($\lambda_i$) pour i allant de 1 à $C_n^p$. Re-indiçons cette suite de la façon suivante: ( $\lambda_{k_1,...,k_p}$) $_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}$, ce qui sera bien plus pratique. Supposons que cette suite vérifie:

\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n} \lambda_{k_1,...,k_p} det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p}=0}.\end{displaymath}

Par ailleurs, si 1$\leq$ m$_1$<...<m$_p$ $\leq$ n, étudions

\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n} \lambda_{k_1,......
...e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p} (e_{m_1},...,e_{m_p})}.\end{displaymath}

Chacun des termes $det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p} (e_{m_1},...,e_{m_p})$ est nul sauf celui tel que k$_1$=m$_1$,...,k$_p$=m$_p$ qui vaut 1. Donc $\lambda_{m_1,...,m_p}$=0. On peut faire ce raisonement pour tout les p-uplets m$_1$,...,m$_p$ tels que 1$\leq$ m$_1$<...<m$_p$ $\leq$ n, ce qui prouve que chacun des $\lambda_{m_1,...,m_p}$ est nul et que la famille $\cal F$ est libre. Ouf!!!


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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