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Dimension de (E) et déterminant

suivant: Déterminant d'une matrice, d'une monter: Formes multilinéaires et déterminant précédent: Formes multilinéaires

Dimension de $\cal A$ (E) et déterminant

Proposition E désigne un k-espace vectoriel de dimension finie et p un entier naturel. Si p est plus grand que la dimension de E alors $\cal A$ (E)= $\lbrace 0 \rbrace$ .

Démonstration Soit $f\in$ $\cal A$ (E) et soient v,...,v, p vecteurs non nuls de E. Comme E est de dimension finie n<p, l'un des vecteurs v par exemple est combinaison linéaire des p-1 autres vecteurs. Il existe donc $\alpha_1,...,\alpha_{p-1}$ dans k tels que

$\begin{displaymath}v_p=\displaystyle{\sum_{i=1}^{p-1} \alpha_i v_i}.\end{displaymath}$

On peut alors écrire:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{p-1} f(v_1,...,v_{p-1},vi).}\end{displaymath}$

Mais comme f est alternée, pour tout i=1,...,p-1, $f(v_1,...,v_{p-1},vi)$ =0. On a prouvé que

=0. Cela étant vrai pour toutes familles de p vecteurs de E v

,....,v

est identiquement nulle sur E.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. L'ensemble des n-formes linéaires alternées sur E: $\cal A$ (E) est de dimension 1 sur k.

Démonstration Considérons une base e=(e) $_{i=1,...,n}$ de E. Considérons d'autre part une n forme linéaire alternée sur E ainsi qu'un n-uplets (v,...,v) de vecteurs de E. Pour i=1,...,n et j=1,...,n il existe des scalaires $\alpha_{ij} \in$ k tels que pour tout j=1,...,p, $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}.$ Considérons aussi l'ensemble $\cal P$ des suites à n éléments et à valeurs dans $\{1,...,n\}$ . On peut alors écrire:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{(i_k)_{k=1,...,n}\in {\cal... ...pha_{i_1 1}. ... . \alpha_{i_n n} f(e_{i_1},...,e_{i_n})}.\end{displaymath}$

Remarquons qu'il existe une bijection évidente entre $\cal P$ et S

. Cette bijection est celle qui à une suite (i

) $_{k=1,...,n}$ de $\cal P$ associe la permutation qui envoie l'entier m sur l'entier i

. Via cette remarque, on peut écrire:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \alpha_{\s... ... . \alpha_{\sigma(n) n} f(e_{\sigma(1)},...,e_{\sigma(n)})}.\end{displaymath}$

étant alternée, pour tout $\sigma \in$ S

$\begin{displaymath}f(v_{\sigma(1)},...,v_{\sigma(n)})=\varepsilon(\sigma)f(v_1,...,v_n).\end{displaymath}$

Donc:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \alpha_{\s... ... . \alpha_{\sigma(n) n} \varepsilon(\sigma) f(e_1,...,e_n)}.\end{displaymath}$

Soit encore:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=(\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \alpha_{\... ... . \alpha_{\sigma(n) n} \varepsilon(\sigma) f(e_1,...,e_n)}.\end{displaymath}$

et posant

$\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}\end{displaymath}$

,...,v

étant n vecteurs quelconques dans E:

$\begin{displaymath}f= f(e_1,...,e_n). \Pi.\end{displaymath}$

Il faut montrer que $\Pi$ est une forme multilinéaire et alternée. On vérifie sans peine que $\Pi$ est multilinéaire

. Soient v

,....,v

n vecteurs de E et i,j $\in$ ${\mathbb{N}}$ tels que i<j et tels que v

$\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \... ..... . . \alpha_{\sigma(j) j}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alp... .... . . \alpha_{\sigma(j) i}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

Soit $\tau$ la transposition qui échange i et j. $\tau$ préserve tout les autres éléments de $\{1,...,n\}$ . Donc

$\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \... ...alpha_{\sigma(\tau(j) i}. ... . \alpha_{\sigma(\tau(n) n}}.\end{displaymath}$

Comme $\tau$ = $\tau$ $^{-1}$ , et $\varepsilon(\sigma \circ \tau)=-\varepsilon(\sigma)$ ,

$\begin{displaymath}\Pi(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \... ...\alpha_{\sigma(\tau(j) i}. ... . \alpha_{\sigma(\tau(n) n}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}= -\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \a... .... . . \alpha_{\sigma(j) i}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

En conclusion

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alph... .... . . \alpha_{\sigma(j) i}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

Donc $\Pi(v_1,...,v_n)=0$ et $\Pi$ est bien alternée

Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit e=(e,...,e) une base de E.. On appelle application déterminant dans la base e l'application multilinéaire alternée qui à n vecteurs v j=1,...,n de E d'écriture $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}$ dans la base E associe la quantitée

$\begin{displaymath}det_e(v_1,...v_n)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \vareps... .... . . \alpha_{\sigma(j) j}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

Démonstration Nous venons de démontrer que cette application est multilinéaire alternée.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit e=(e,...,e) une base de E et soit det l'application déterminant associée à cette base. Alors det(e,...,e)=1.

Démonstration Il suffit de revenir à la définition du déterminant.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finien. Soit n la dimension de E et soit e=(e,...,e) une base de E. Soit f une application n-linéaire alternée. Soient aussi v,...,v n vecteurs de E.

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_n)=f(e_1,...,e_n).det_e(v_1,...,v_n).\end{displaymath}$

Démonstration Cette proposition n'est rien d'autre que la ré-écriture de celle démontrée au début de ce paragraphe et qui donne la dimension de $\cal A$ $^{n}$ (E). Se reporter donc à la démonstration de cette proposition.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit n la dimension de E. Soit p $\in$ ${\mathbb{N}}$ tel que p $\leq$ n. Alors la dimension de $\cal A$ (E) est donnée par dim $\cal A$ (E)=C où C désigne le rapport $\frac{n!}{(n-p)!p!}$ .

Démonstration Notons $\cal P$ l'ensemble des suites à p éléments distincts et à valeurs dans $\{1,...,n\}$ . Une suite élément de $\cal P$ sera notée (i) $_{k=1,...,p}$ . Soient v,...,v p vecteurs de E. Pour i=1,...,n et j=1,...,p il existe des scalaires $\alpha_{ij} \in$ k tels que pour tout j=1,...,p $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}.$ Si est une p-forme linéaire sur E,

$\begin{displaymath}(*)\; f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{(i_k)_{k=1,...,p}\in... ...pha_{i_1 1}. ... . \alpha_{i_n p} f(e_{i_1},...,e_{i_n})}.\end{displaymath}$

La somme précédente est donc prise sur l'ensemble des suites appartenant à $\cal P$ . Etudions plus précisément $\cal P$ . Une suite de $\cal P$ est caractérisée par:

L'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre.
L'ordre dans lequel elle prend ces valeurs.

Désignons par les entier k

<...<k

les p valeurs pouvant être prises par une suite donnée de $\cal P$ . Soient i

,...,i

et i'

,...,i'

deux suites de $\cal P$ prenant leur valeurs dans $\{k_1,...,k_p\}$ . Il existe une unique permutation $\sigma$ de S

telle que i $_{\sigma(m)}$ =i'

pour tout m=1,...,p. Réciproquement si i

,....,i

est une suite de $\cal P$ et que $\sigma$ est une permutation de S

, alors i $_{\sigma(1)}$ ,....,i $_{\sigma(p)}$ est une autre suite de $\cal P$ prenant ses valeurs dans le même ensemble que la suite (i

) $_{k=1,...,p}$ . Le sous ensemble de $\cal P$ des suites qui sont à valeur dans $\{k_1,...,k_p\}$ peut donc être décrit par l'ensemble $\{k_{\sigma(1)},...,k_{\sigma(p)}; \sigma \in S_p\}$ . En conclusion $\cal P$ peut lui être décrit par:

$\begin{displaymath}{\cal P}=\displaystyle{\bigcup_{1\leq k_1<...<k_p\leq n} \{k_{\sigma(1)},...,k_{\sigma(p)}; \sigma \in S_p\}}.\end{displaymath}$

Ce partitionement de $\cal P$ permet une autre écriture de la somme (*):

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;... ..._{k_{\sigma(n)} p} f(e_{k_{\sigma(1)}},...,e_{k_{\sigma(n)}})}.\end{displaymath}$

Mais comme

est alternée

, ceci se ré-écrit:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;... ...{\sigma(n)} p} \varepsilon(\sigma) f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})}.\end{displaymath}$

Ou encore:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;... ...gma(n)} p} \varepsilon(\sigma)) \; f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})}.\end{displaymath}$

L'expression entre parenthèses est exactement égale à det $_{e_{k_1,...,k_p}}$ (v $_{k_1}$ ,...,v $_{k_p}$ ). Notons ( pour 1 $\leq$ k<...<k<n) $\Pi_{k_1,...,k_p}$ l'application qui à un n-uplet (v,...,v) associe le p-uplet (v $_{k_1}$ ,...,v $_{k_p}$ ). Notons aussi e $_{k_1,...,k_p}$ la famille libre e $_{k_1}$ ,...,e $_{k_p}$ . (*) admet comme écriture:

$\begin{displaymath}f(v_1,...,v_p)=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\;... ... \Pi_{k_1,...,k_p}(v_1,...,v_n) \; f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})}.\end{displaymath}$

Soit encore, (v

,...,v

) étant un n-uplet quelconque de vecteurs de E:

$\begin{displaymath}f=\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}\; f(e_{k_{1}},...,e_{k_{n}})\; det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p} }.\end{displaymath}$

Ce qui est beaucoups plus sympathique.

On vérifie sans peine que les fonctions $det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p}$ sont des formes p-linéaires alternées. $\cal A$ (E) est donc engendré par l'ensemble des formes $\cal F$ = $\{ det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p}; 1\leq k_1<...<k_p \leq n\}$ . Remarquons que l'ensemble des p uplets k,...,k tels que 1 $\leq$ k<...<k $\leq$ n est de cardinal . Donc $\cal F$ est de cardinal . Montrons pour terminer que cette famille est libre. Considérons une famille de scalaires ( $\lambda_i$ ) pour i allant de 1 à . Re-indiçons cette suite de la façon suivante: ( $\lambda_{k_1,...,k_p}$ ) $_{1\leq k_1<...<k_p\leq n}$ , ce qui sera bien plus pratique. Supposons que cette suite vérifie:

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n} \lambda_{k_1,...,k_p} det_{e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p}=0}.\end{displaymath}$

Par ailleurs, si 1 $\leq$ m

<...<m

$\leq$ n, étudions

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{1\leq k_1<...<k_p\leq n} \lambda_{k_1,...... ...e_{k_1,...,k_p}}\circ \Pi_{k_1,...,k_p} (e_{m_1},...,e_{m_p})}.\end{displaymath}$