Proposition E désigne un k-espace vectoriel de dimension finie et p un entier naturel. Si p est plus grand que la dimension de E alors (E)=
.
Démonstration Soit (E) et soient v,...,v, p vecteurs non nuls de E. Comme E est de dimension finie n<p, l'un des vecteurs v par exemple est combinaison linéaire des p-1 autres vecteurs. Il existe donc
dans k tels que
On peut alors écrire:
Mais comme f est alternée, pour tout i=1,...,p-1,
=0. On a prouvé que
=0. Cela étant vrai pour toutes familles de p vecteurs de E v,....,v, est identiquement nulle sur E.
Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension n. L'ensemble des n-formes linéaires alternées sur E: (E) est de dimension 1 sur k.
Démonstration Considérons une base e=(e) de E. Considérons d'autre part une n forme linéaire alternée sur E ainsi qu'un n-uplets (v,...,v) de vecteurs de E. Pour i=1,...,n et j=1,...,n il existe des scalaires
k tels que pour tout j=1,...,p,
Considérons aussi l'ensemble des suites à n éléments et à valeurs dans . On peut alors écrire:
Remarquons qu'il existe une bijection évidente entre et S. Cette bijection est celle qui à une suite (i) de associe la permutation qui envoie l'entier m sur l'entier i. Via cette remarque, on peut écrire:
étant alternée, pour tout S,
Donc:
Soit encore:
et posant
v,...,v étant n vecteurs quelconques dans E:
Il faut montrer que est une forme multilinéaire et alternée. On vérifie sans peine que est multilinéaire. Soient v,....,v n vecteurs de E et i,j tels que i<j et tels que v=v.
Soit la transposition qui échange i et j. préserve tout les autres éléments de . Donc
Comme =, et
,
En conclusion
Donc
et est bien alternée.
Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit e=(e,...,e) une base de E.. On appelle application déterminant dans la base e l'application multilinéaire alternée qui à n vecteurs v j=1,...,n de E d'écriture
dans la base E associe la quantitée
Démonstration Nous venons de démontrer que cette application est multilinéaire alternée.
Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit e=(e,...,e) une base de E et soit det l'application déterminant associée à cette base. Alors det(e,...,e)=1.
Démonstration Il suffit de revenir à la définition du déterminant.
Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finien. Soit n la dimension de E et soit e=(e,...,e) une base de E. Soit f une application n-linéaire alternée. Soient aussi v,...,v n vecteurs de E.
Démonstration Cette proposition n'est rien d'autre que la ré-écriture de celle démontrée au début de ce paragraphe et qui donne la dimension de (E). Se reporter donc à la démonstration de cette proposition.
Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit n la dimension de E. Soit ptel que pn. Alors la dimension de (E) est donnée par dim (E)=C où C désigne le rapport
.
Démonstration Notons l'ensemble des suites à p éléments distincts et à valeurs dans . Une suite élément de sera notée (i).
Soient v,...,v p vecteurs de E. Pour i=1,...,n et j=1,...,p il existe des scalaires
k tels que pour tout j=1,...,p
Si est une p-forme linéaire sur E,
La somme précédente est donc prise sur l'ensemble des suites appartenant à . Etudions plus précisément . Une suite de est caractérisée par:
L'ensemble des valeurs qu'elle peut prendre.
L'ordre dans lequel elle prend ces valeurs.
Désignons par les entier k<...<k les p valeurs pouvant être prises par une suite donnée de . Soient i,...,i et i',...,i' deux suites de prenant leur valeurs dans
. Il existe une unique permutation de S telle que i=i' pour tout m=1,...,p. Réciproquement si i,....,i est une suite de et que est une permutation de S, alors i,....,i est une autre suite de prenant ses valeurs dans le même ensemble que la suite (i). Le sous ensemble de des suites qui sont à valeur dans
peut donc être décrit par l'ensemble
. En conclusion peut lui être décrit par:
Ce partitionement de permet une autre écriture de la somme (*):
Mais comme est alternée, ceci se ré-écrit:
Ou encore:
L'expression entre parenthèses est exactement égale à det
(v,...,v). Notons ( pour 1k<...<k<n)
l'application qui à un n-uplet (v,...,v) associe le p-uplet (v,...,v). Notons aussi e
la famille libre e,...,e. (*) admet comme écriture:
Soit encore, (v,...,v) étant un n-uplet quelconque de vecteurs de E:
Ce qui est beaucoups plus sympathique.
On vérifie sans peine que les fonctions
sont des formes p-linéaires alternées. (E) est donc engendré par l'ensemble des formes =
. Remarquons que l'ensemble des p uplets k,...,k tels que 1 k<...<k n est de cardinal . Donc est de cardinal .
Montrons pour terminer que cette famille est libre. Considérons une famille de scalaires () pour i allant de 1 à . Re-indiçons cette suite de la façon suivante: (
)
, ce qui sera bien plus pratique. Supposons que cette suite vérifie:
Par ailleurs, si 1 m<...<m n, étudions
Chacun des termes
est nul sauf celui tel que k=m,...,k=m qui vaut 1. Donc
=0. On peut faire ce raisonement pour tout les p-uplets m,...,m tels que 1 m<...<m n, ce qui prouve que chacun des
est nul et que la famille est libre. Ouf!!!