Définition Soit M=()
une matrice carrée à coefficients dans le corps k. On appelle déterminant de la matrice M et on note det(M) le déterminant des n vecteurs dont les coordonnées ( dans la base canonique de k) sont données par les colonnes de M:
Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension égale à n. Soient e=(e,...,e) et e'=(e',...,e') deux bases de E. Alors: det(e',...,e').det(e,..,e)=1 ( det(e',...,e') est inversible dans k d'inverse det(e,..,e).
Démonstration L'application qui au n-uplets (v,...v) de vecteurs de E associe det(v,...,v) est n-multilinéaire alternée. Donc det(v,...,v)=det(e,...,e).det(v,..,v). Mais det(e',...,e')=1 donc det(e,..,e) est inversible dans k d'inverse celui précisé dans la proposition.
Définition - Proposition Soit une application linéaire définie sur le k-espace vectoriel E de dimension finie. Soit e une base de E. Si M() désigne la matrice de dans la base E, alors on appelle déterminant de le scalaire de k det()=det M().
Démonstration Soit n=dim E. Il s'agit bien évidemment de montrer que si e' est une autre base de E alors detM()=detM(), ce qui garantira le sens de cette définition. Rappelons que M() est la matrice dont les vecteurs colonnes sont données par les coordonnées des pour i=1,...,n dans la base e. Donc detM()=det(f(e),...,f(e)). De même detM()=det(f(e'),...,f(e')).
Intéressons nous à l'application qui au n-uplet (v,...,v) de vecteurs de E associe det(f(v),...,f(v)). Cette application est n-linéaire alternée. Donc det(f(v),...,f(v)) = det(f(e),...,f(e)) det(v,...,v). En particulier, det(f(e'),...,f(e')) = det(f(e),...,f(e)) det(e',...,e'). Soit encore:
D'autre part l'application qui au n-uplets (v,...v) de vecteurs de E associe det(v,...,v) est elle aussi n-multilinéaire alternée. Donc det(v,...,v)=det(e,...,e)det(v,..,v). Si on applique cette formule au n-uplets: (f(e'),...,f(e')), on obtient det(f(e'),...,f(e')) = det(e,...,e)det(f(e'),..,f(e')). Ce qui s'écrit aussi:
On aboutit à l'égalité:
En vertu de la proposition précédente ( det(e',...,e').det(e,..,e)=1 ), cela donne