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Déterminant d'une matrice, d'une application linéaire

Définition Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ une matrice carrée à coefficients dans le corps k. On appelle déterminant de la matrice M et on note det(M) le déterminant des n vecteurs dont les coordonnées ( dans la base canonique de k$^{n}$) sont données par les colonnes de M:

\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma...
.... .   . \alpha_{\sigma(j) j}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}


Proposition Soit E un k-espace vectoriel de dimension égale à n. Soient e=(e$_1$,...,e$_n$) et e'=(e'$_1$,...,e'$_n$) deux bases de E. Alors: det$_e$(e'$_1$,...,e'$_n$).det$_{e'}$(e$_1$,..,e$_n$)=1 ( det$_e$(e'$_1$,...,e'$_n$) est inversible dans k d'inverse det$_{e'}$(e$_1$,..,e$_n$).

Démonstration L'application qui au n-uplets (v$_1$,...v$_n$) de vecteurs de E associe det$_{e'}$(v$_1$,...,v$n$) est n-multilinéaire alternée. Donc det$_{e'}$(v$_1$,...,v$_n$)=det$_{e'}$(e$_1$,...,e$_n$).det$_e$(v$_1$,..,v$_n$). Mais det$_{e'}$(e'$_1$,...,e'$_n$)=1 donc det$_{e'}$(e$_1$,..,e$_n$) est inversible dans k d'inverse celui précisé dans la proposition.

Définition - Proposition Soit $f$ une application linéaire définie sur le k-espace vectoriel E de dimension finie. Soit e une base de E. Si M$_e$($f$) désigne la matrice de $f$ dans la base E, alors on appelle déterminant de $f$ le scalaire de k det($f$)=det M$_e$($f$).

Démonstration Soit n=dim E. Il s'agit bien évidemment de montrer que si e' est une autre base de E alors det$_e$M$_e$($f$)=det$_{e'}$M$_{e'}$($f$), ce qui garantira le sens de cette définition. Rappelons que M$_e$($f$) est la matrice dont les vecteurs colonnes sont données par les coordonnées des $f(e_i)$ pour i=1,...,n dans la base e. Donc det$_e$M$_e$($f$)=det$_e$(f(e$_1$),...,f(e$_n$)). De même det$_{e'}$M$_{e'}$($f$)=det$_{e'}$(f(e'$_1$),...,f(e'$_n$)).
Intéressons nous à l'application qui au n-uplet (v$_1$,...,v$_n$) de vecteurs de E associe det$_e$(f(v$_1$),...,f(v$_n$)). Cette application est n-linéaire alternée. Donc det$_e$(f(v$_1$),...,f(v$_n$)) = det$_e$(f(e$_1$),...,f(e$_n$)) $\times$ det$_e$(v$_1$,...,v$_n$). En particulier, det$_e$(f(e'$_1$),...,f(e'$_n$)) = det$_e$(f(e$_1$),...,f(e$_n$)) $\times$ det$_e$(e'$_1$,...,e'$_n$). Soit encore:

\begin{displaymath}det_e(f(e'_1),...,f(e'_n)) = det_e(M_e(f))\times det_e(e'_1,...,e'_n).\end{displaymath}


D'autre part l'application qui au n-uplets (v$_1$,...v$_n$) de vecteurs de E associe det$_{e'}$(v$_1$,...,v$n$) est elle aussi n-multilinéaire alternée. Donc det$_{e'}$(v$_1$,...,v$_n$)=det$_{e'}$(e$_1$,...,e$_n$)$\times$det$_e$(v$_1$,..,v$_n$). Si on applique cette formule au n-uplets: (f(e'$_1$),...,f(e'$_n$)), on obtient det$_{e'}$(f(e'$_1$),...,f(e'$_n$)) = det$_{e'}$(e$_1$,...,e$_n$)$\times$det$_{e'}$(f(e'$_1$),..,f(e'$_n$)). Ce qui s'écrit aussi:

\begin{displaymath}det_{e'}(f(e'_1),...,f(e'_n)) =det_{e'}(M_{e'}(f)) \times det_{e'}(e_1,...,e_n).\end{displaymath}

On aboutit à l'égalité:

\begin{displaymath}det_e(M_e(f))\times det_e(e'_1,...,e'_n)=det_{e'}(M_{e'}(f)) \times det_{e'}(e_1,...,e_n).\end{displaymath}

En vertu de la proposition précédente ( det$_e$(e'$_1$,...,e'$_n$).det$_{e'}$(e$_1$,..,e$_n$)=1 ), cela donne

\begin{displaymath}det_e(M_e(f))=det_{e'}(M_{e'}(f)).\end{displaymath}

Donc det(f) est bien indépendant de la base choisie.

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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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