Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
202 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Quelques propriétés du déterminant next up previous
suivant: Méthodes de calcul du monter: Formes multilinéaires et déterminant précédent: Déterminant d'une matrice, d'une

Quelques propriétés du déterminant

Proposition Si $f$ et $g$ sont deux endomorphismes du k-espace vectoriel E alors

\begin{displaymath}det(g \circ f)= det (g) \times det (f).\end{displaymath}


Démonstration Soit n la dimension de E et soit e=(e$_1$,...,e$_n$) une base de E. Considérons l'application qui au n-uplet (v$_1$,...,v$_n$) de vecteurs de E associe det$_e$(g(v$_1$),...,g(v$_n$)). Cette application est n-multilinéaire alternée. Donc

\begin{displaymath}det_e(g(v_1),...,g(v_n))=det_e(g(e_1),...,g(e_n)) \times det_e(v_1,...,v_n).\end{displaymath}

Appliquons cette formule au n-uplet (f(v$_1$),...,f(v$_n$)), on obtient

\begin{displaymath}det_e(g(f(e_1)),...,g(f(e_n)))=det_e(g(e_1),...,g(e_n)) \times det_e(f(e_1),...,f(e_n))\end{displaymath}

ce qui est exactement

\begin{displaymath}det(g \circ f)= det (g) \times det (f).\end{displaymath}


Proposition Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ une matrice carrée à coefficients dans le corps k. Soit $^{t}$M la transposée de la matrice M. Alors det(M)=det($^{t}$M).

Démonstration Si M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ alors $^{t}$ M=($\alpha'_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ avec pour tout i,j=1,...,n $\alpha'_{ij}=\alpha_{ji}$ et

\begin{displaymath}det(^t M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha'_{\sigma(1) 1}.  ...  . \alpha'_{\sigma(n) n}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha_{1 \sigma(1)}.  ...  . \alpha_{n \sigma(n)}}.\end{displaymath}

Comme les applications $\sigma$ de S$_n$ sont des bijections, que le multiplication est commutative, on peut écrire:

\begin{displaymath}\alpha_{1 \sigma(1)}.  ...  . \alpha_{n \sigma(n)}= \alpha_{\sigma^{-1}(1)1}.  ...  . \alpha_{\sigma^{-1}(n) n}.\end{displaymath}

De plus, $\varepsilon$ étant un morphisme de groupes multiplicatifs, $\varepsilon(\sigma \sigma^{-1})$=1 et donc $\varepsilon(\sigma)=\varepsilon(\sigma^{-1})$. Cela donne

\begin{displaymath}det (^tM)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}


Proposition Soit M une matrice triangulaire par bloc.

\begin{displaymath}M=\left(
\begin{array}{cc}
M_1&M'\\
0&M_2\\
\end{array}\right)\end{displaymath}


Où M$_1$ et M$_2$ sont des matrices carrés. Le déterminant de M est égal au produit det(M$_1$) $\times$ det(M$_2$).

Démonstration On suppose que M est une matrice carrée à n colonnes. On suppose que M$_1$ possède m colonnes. M$_2$ possède donc n-m colonnes. Notons aussi M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$. Considérons $\cal A$= $\lbrace \sigma \in S_n; \sigma (\{1,...,m \})=\{1,...,m\}\}$. Si $\sigma$ n'est pas élément de $\cal A$ alors $\exists i\in \{1,...,m\}$ tel que $\sigma(i) \in \{m+1,...,n\}$. Pour cet entier i, a$_{\sigma(i)i}$=0 et

\begin{displaymath}\varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}.  ...  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}=0.\end{displaymath}

Donc

\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in \cal A} \varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}.  ...  . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}

Mais si $\sigma \in \cal A$ alors $\sigma(\{1,...,m \})=\{1,...,m\}$ et $\sigma(\{m+1,...,n \})=\{m+1,...,n\}$. $\sigma$ est le produit d'une permutation de $\{1,...,m\}$ et d'une permutation de $\{m+1,...,n\}$. Notons S'$_{n-m}$ l'ensemble des permutations de $\{m+1,...,n\}$. On obtient:

\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_m \;\sigma'\in S'_{n-...
...(m)m).\alpha_{\sigma'(m+1)m+1}  ...  . \alpha_{\sigma'(n) n}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_m} \varepsilon(\sigma) \alp...
...gma') \alpha_{\sigma'(m+1)m+1}  ...  . \alpha_{\sigma'(n) n}}\end{displaymath}


\begin{displaymath}=det(M_1)\times \det(M_2).\end{displaymath}


Corollaire Soit M une matrice triangulaire ( supérieure ou inférieure ) à coefficients dans un corps k. Alors le déterminant de M est égal au produit des éléments diagonaux de M.

Démonstration Intéressons nous en un premier temps aux matrices triangulaires supérieures. On remarque que si M est d'ordre 1, son déterminant est clairement égal à son (seul ) coefficient diagonal. Supposons que la propriété est vraie pour toutes les matrices d'ordre n-1. Soit M une matrice d'ordre n. Ecrivons M sous la forme

\begin{displaymath}A=\left(
\begin{array}{cc}
\lambda_{11}&\cdots\\
0&M'\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

où M' est une matrice triangulaire supérieure d'ordre n-1 et où $\lambda_{11}$ est le premier coefficient diagonale de M. La propriété précédente permet d'affirmer que det(M)= $\lambda_{11} \times$M'. Appliquons l'hypothèse de récurrence: le déterminant de M' est égal au produit des coefficients diagonaux de M'. Le déterminant de M est alors bien égal au produit de ses coefficients diagonaux et le théorème est démontré.

Corollaire L'application identique Id sur le k-espace vectoriel de dimension fini E vérifie det(Id)=1.

Démonstration En effet, la représentation matricielle de Id dans une base de E est la matrice dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 et qui a tout ses autres coefficients égaux à 0. Le déterminant d'une application linéaire étant celui d'une de ses représentations matricielles, on obtient le résultat prévu.


next up previous
suivant: Méthodes de calcul du monter: Formes multilinéaires et déterminant précédent: Déterminant d'une matrice, d'une
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page