Proposition Si et sont deux endomorphismes du k-espace vectoriel E alors
Démonstration Soit n la dimension de E et soit e=(e,...,e) une base de E. Considérons l'application qui au n-uplet (v,...,v) de vecteurs de E associe det(g(v),...,g(v)). Cette application est n-multilinéaire alternée. Donc
Appliquons cette formule au n-uplet (f(v),...,f(v)), on obtient
ce qui est exactement
Proposition Soit M=()
une matrice carrée à coefficients dans le corps k. Soit M la transposée de la matrice M. Alors det(M)=det(M).
Démonstration Si M=()
alors M=()
avec pour tout i,j=1,...,n
et
Comme les applications de S sont des bijections, que le multiplication est commutative, on peut écrire:
De plus, étant un morphisme de groupes multiplicatifs,
=1 et donc
. Cela donne
Proposition Soit M une matrice triangulaire par bloc.
Où M et M sont des matrices carrés. Le déterminant de M est égal au produit det(M) det(M).
Démonstration On suppose que M est une matrice carrée à n colonnes. On suppose que M possède m colonnes. M possède donc n-m colonnes. Notons aussi M=()
.
Considérons =
. Si n'est pas élément de alors
tel que
. Pour cet entier i, a=0 et
Donc
Mais si
alors
et
. est le produit d'une permutation de et d'une permutation de . Notons S' l'ensemble des permutations de . On obtient:
Corollaire Soit M une matrice triangulaire ( supérieure ou inférieure ) à coefficients dans un corps k. Alors le déterminant de M est égal au produit des éléments diagonaux de M.
Démonstration Intéressons nous en un premier temps aux matrices triangulaires supérieures. On remarque que si M est d'ordre 1, son déterminant est clairement égal à son (seul ) coefficient diagonal. Supposons que la propriété est vraie pour toutes les matrices d'ordre n-1. Soit M une matrice d'ordre n. Ecrivons M sous la forme
où M' est une matrice triangulaire supérieure d'ordre n-1 et où est le premier coefficient diagonale de M. La propriété précédente permet d'affirmer que det(M)=
M'. Appliquons l'hypothèse de récurrence: le déterminant de M' est égal au produit des coefficients diagonaux de M'. Le déterminant de M est alors bien égal au produit de ses coefficients diagonaux et le théorème est démontré.
Corollaire L'application identique Id sur le k-espace vectoriel de dimension fini E vérifie det(Id)=1.
Démonstration En effet, la représentation matricielle de Id dans une base de E est la matrice dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 et qui a tout ses autres coefficients égaux à 0. Le déterminant d'une application linéaire étant celui d'une de ses représentations matricielles, on obtient le résultat prévu.