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Quelques propriétés du déterminant

suivant: Méthodes de calcul du monter: Formes multilinéaires et déterminant précédent: Déterminant d'une matrice, d'une

Quelques propriétés du déterminant

Proposition Si et sont deux endomorphismes du k-espace vectoriel E alors

$\begin{displaymath}det(g \circ f)= det (g) \times det (f).\end{displaymath}$

Démonstration Soit n la dimension de E et soit e=(e,...,e) une base de E. Considérons l'application qui au n-uplet (v,...,v) de vecteurs de E associe det(g(v),...,g(v)). Cette application est n-multilinéaire alternée. Donc

$\begin{displaymath}det_e(g(v_1),...,g(v_n))=det_e(g(e_1),...,g(e_n)) \times det_e(v_1,...,v_n).\end{displaymath}$

Appliquons cette formule au n-uplet (f(v

),...,f(v

)), on obtient

$\begin{displaymath}det_e(g(f(e_1)),...,g(f(e_n)))=det_e(g(e_1),...,g(e_n)) \times det_e(f(e_1),...,f(e_n))\end{displaymath}$

ce qui est exactement

$\begin{displaymath}det(g \circ f)= det (g) \times det (f).\end{displaymath}$

Proposition Soit M=( $\alpha_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ une matrice carrée à coefficients dans le corps k. Soit $^{t}$ M la transposée de la matrice M. Alors det(M)=det( $^{t}$ M).

Démonstration Si M=( $\alpha_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ alors $^{t}$ M=( $\alpha'_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ avec pour tout i,j=1,...,n $\alpha'_{ij}=\alpha_{ji}$ et

$\begin{displaymath}det(^t M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha'_{\sigma(1) 1}. ... . \alpha'_{\sigma(n) n}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha_{1 \sigma(1)}. ... . \alpha_{n \sigma(n)}}.\end{displaymath}$

Comme les applications $\sigma$ de S

sont des bijections, que le multiplication est commutative, on peut écrire:

$\begin{displaymath}\alpha_{1 \sigma(1)}. ... . \alpha_{n \sigma(n)}= \alpha_{\sigma^{-1}(1)1}. ... . \alpha_{\sigma^{-1}(n) n}.\end{displaymath}$

De plus, $\varepsilon$ étant un morphisme de groupes multiplicatifs, $\varepsilon(\sigma \sigma^{-1})$ =1 et donc $\varepsilon(\sigma)=\varepsilon(\sigma^{-1})$ . Cela donne

$\begin{displaymath}det (^tM)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_n} \varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

Proposition Soit M une matrice triangulaire par bloc.

$\begin{displaymath}M=\left( \begin{array}{cc} M_1&M'\\ 0&M_2\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

Où M

et M

sont des matrices carrés. Le déterminant de M

est égal au produit det(M

) $\times$ det(M

Démonstration On suppose que M est une matrice carrée à n colonnes. On suppose que M possède m colonnes. M possède donc n-m colonnes. Notons aussi M=( $\alpha_{ij}$ ) $_{i,j=1,...,n}$ . Considérons $\cal A$ = $\lbrace \sigma \in S_n; \sigma (\{1,...,m \})=\{1,...,m\}\}$ . Si $\sigma$ n'est pas élément de $\cal A$ alors $\exists i\in \{1,...,m\}$ tel que $\sigma(i) \in \{m+1,...,n\}$ . Pour cet entier i, a $_{\sigma(i)i}$ =0 et

$\begin{displaymath}\varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}. ... ... . \alpha_{\sigma(n) n}=0.\end{displaymath}$

Donc

$\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in \cal A} \varepsilon(\sigma) \alpha_{\sigma(1) 1}. ... . \alpha_{\sigma(n) n}}.\end{displaymath}$

Mais si $\sigma \in \cal A$ alors $\sigma(\{1,...,m \})=\{1,...,m\}$ et $\sigma(\{m+1,...,n \})=\{m+1,...,n\}$ . $\sigma$ est le produit d'une permutation de $\{1,...,m\}$ et d'une permutation de $\{m+1,...,n\}$ . Notons S' $_{n-m}$ l'ensemble des permutations de $\{m+1,...,n\}$ . On obtient:

$\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_m \;\sigma'\in S'_{n-... ...(m)m).\alpha_{\sigma'(m+1)m+1} ... . \alpha_{\sigma'(n) n}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\displaystyle{\sum_{\sigma \in S_m} \varepsilon(\sigma) \alp... ...gma') \alpha_{\sigma'(m+1)m+1} ... . \alpha_{\sigma'(n) n}}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=det(M_1)\times \det(M_2).\end{displaymath}$

Corollaire Soit M une matrice triangulaire ( supérieure ou inférieure ) à coefficients dans un corps k. Alors le déterminant de M est égal au produit des éléments diagonaux de M.

Démonstration Intéressons nous en un premier temps aux matrices triangulaires supérieures. On remarque que si M est d'ordre 1, son déterminant est clairement égal à son (seul ) coefficient diagonal. Supposons que la propriété est vraie pour toutes les matrices d'ordre n-1. Soit M une matrice d'ordre n. Ecrivons M sous la forme

$\begin{displaymath}A=\left( \begin{array}{cc} \lambda_{11}&\cdots\\ 0&M'\\ \end{array}\right)\end{displaymath}$

où M' est une matrice triangulaire supérieure d'ordre n-1 et où $\lambda_{11}$ est le premier coefficient diagonale de M. La propriété précédente

permet d'affirmer que det(M)= $\lambda_{11} \times$ M'. Appliquons l'hypothèse de récurrence: le déterminant de M' est égal au produit des coefficients diagonaux de M'. Le déterminant de M est alors bien égal au produit de ses coefficients diagonaux et le théorème est démontré.

Corollaire L'application identique Id sur le k-espace vectoriel de dimension fini E vérifie det(Id)=1.

Démonstration En effet, la représentation matricielle de Id dans une base de E est la matrice dont les coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 et qui a tout ses autres coefficients égaux à 0. Le déterminant d'une application linéaire étant celui d'une de ses représentations matricielles, on obtient le résultat prévu.