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Méthodes de calcul du déterminant

Proposition Soit M une matrice carrée d'ordre n à coefficient dans k. On ne change pas la valeur du déterminant de M en:

  • Effectuant une opération élémentaire sur les colonnes de M.
  • Effectuant une opération élémentaire sur les lignes de M.
$ $

Démonstration Si M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ alors M est composée des n vecteurs colonnes

\begin{displaymath}v_j=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1j}\\
\alpha_{2j}\\
\vdots\\
\alpha_{nj}\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

Le déterminant de M est égal, par définition du déterminant d'une matrice, au déterminant de ces n vecteurs.
Effectuer une opération sur les colonnes de M revient à additionner $\lambda$v$_i$$\lambda\in$k et i $\in \{1,...,n\}$ à une des colonnes C$_j$ de M. Soit M' la matrice obtenue en additionnant $\lambda$v$_i$ à la jième colonne de M. On a:

\begin{displaymath}det(M')=det(v_1,...,v_i,...,,v_j+\lambda v_i,...,v_n).\end{displaymath}

Par multilinéarité du déterminant, ceci devient:

\begin{displaymath}det(M')=det(v_1,...,v_i,...,v_j,...,v_n)+\lambda det(v_1,...,v_i,...,v_i,...,v_n)\end{displaymath}

et comme le déterminant est alterné, $det(v_1,...,v_i,...,v_i,...,v_n)=0$ et

\begin{displaymath}det(M')=det(v_1,...,v_n)=det(M).\end{displaymath}


Pour ce qui est des opérations élémentaires sur les lignes il suffit de considérer la transposée de M: une opération élémentaire sur les lignes de M est une opération élémentaire sur les colonnes de $^{t}$M, puis d'appliquer ce qui vient d'être démontré.

Proposition Soit M une matrice carrée d'ordre n. Soit $\lambda\in$k.

\begin{displaymath}det(\lambda M)=\lambda^n.det(M).\end{displaymath}


Démonstration Comme précédement il suffit de remarquer que si v$_1$,...,v$_n$ sont les vecteurs colonnes constituant la matrice M alors $\lambda$v$_1$,...,$\lambda$v$_n$ sont ceux qui constituent $\lambda$M et

\begin{displaymath}det(\lambda M)=det(\lambda v_1,...,\lambda v_n).\end{displaymath}

L'application déterminant étant n-linéaire, on aboutit à l'égalité

\begin{displaymath}det(\lambda M)=\lambda^n det(v_1,...,v_n)=\lambda^n det(M).\end{displaymath}


Proposition Soit M une matrice carrée d'ordre n. On change le signe du déterminant de M si:

  • On permute deux colonnes de M.
  • On permute deux lignes de M.
$ $

Démonstration M est constituée des n vecteurs colonnes v$_i$ i=1,...,n. Le déterminant de M est égale au déterminant de ces n vecteurs. Permuter deux colonnes de M revient à permuter les deux vecteurs corespondants dans la liste (v$_1$,...,v$_n$). Supposons que les vecteurs permutés soient le ième et le jième (i<j), L'application déterminant étant alternée, det(v$_1$,...,v$_i$,...,v$_j$,...,v$_n$)=-det(v$_1$,...,v$_j$,...,v$_i$,...,v$_n$), cqfd. Pour ce qui est des lignes, il suffit de considérer la transposée de M.

Proposition Développement du déterminant par rapport à une ligne ou une colonne Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ une matrice carrée d'ordre n à coefficients dans k. Soit M$_{pq}$ la matrice carrée d'ordre n-1

\begin{displaymath}M_{pq}=(\alpha_{ij})_{i,j=1,...,n \; i\neq p \; j \neq q}.\end{displaymath}

Le déterminant de M admet comme développement par rapport à la jième colonne:

\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} \alpha_{ij} det(M_{ij})}\end{displaymath}

et par rapport à la ième ligne:

\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} \alpha_{ij} det(M_{ij})}.\end{displaymath}


Démonstration Considérons là encore les vecteurs colonnes de M

\begin{displaymath}v_j=\left(\begin{array}{c}
\alpha_{1j}\\
\alpha_{2j}\\
\vdots\\
\alpha_{nj}\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

Considérons aussi la base canonique e de k$^{n}$. Pour tout j=1,...,n. $v_j=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} e_i}$. Le déterminant de M est égal au déterminant des n vecteurs v$_j$. Considérant le jième vecteur, par multilinéarité de l'application déterminant,

\begin{displaymath}det(M)=det(v_1,...,v_n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} det(v_1,....,v_{j-1},e_i,v_{i+1},...,v_n)}.\end{displaymath}

Représentant les n vecteurs (v$_1$,....,v$_{j-1}$,e$_i$,v$_{i+1}$,...,v$_n$) par une matrice M', on obtient pour M' l'écriture:


\begin{displaymath}M'=\left(
\begin{array}{cccccccc}
\alpha_{11}&\cdots&\alpha_{...
... j-1}&0&\alpha_{n j+1}&\cdots&\alpha_{nn}\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

Par transposition des lignes et des colonnes de M', on transforme la matrice M' en la matrice M'':

\begin{displaymath}M''=\left(
\begin{array}{cccccccc}
1&\alpha_{12}&\cdots&\alph...
...
0 &&&&&&\\
\vdots&&&M_{ij}&&\\
0&&&&&&\\
\end{array}\right)\end{displaymath}

M'' est triangulaire par bloc. De plus, comme M'' est obtenue à effectuant i-1 transpositions sur les lignes de M' et j-1 transposition sur les colonnes de M', le det(M')=(-1)$^{i+j}$det(M''). Mais det(M'')=det(M$_{ij}$). Donc

\begin{displaymath}det(M)=\displaystyle{\sum_{i=1}^n \alpha_{ij} (-1)^{i+j}det(M_{ij})}.\end{displaymath}

Pour ce qui est du développement suivant les lignes, il suffit de refaire le même calcul avec la transposée de M.

Définition Soit M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ une matrice carrée d'ordre n. Soit M$_{pq}$ la matrice carrée d'ordre n-1

\begin{displaymath}M_{pq}=(\alpha_{ij})_{i,j=1,...,n \; i\neq p \; j \neq q}.\end{displaymath}

On appelle matrice adjointe de la matrice M la matrice carré d'ordre n M'=($\alpha'_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$$\forall$i,j=1,...,n, $\alpha_{ij}$=(-1)$^{i+j}$det(M$_{ij}$).

Définition On appelle comatrice de la matrice carrée M la transposée de la matrice adjointe de M.

Proposition Si M est une matrice carrée d'ordre n et que M$^{*}$ est la comatrice de M alors M.M$^{*}$=M$^{*}$.M=det(M).Id.

Démonstration Supposons que M=($\alpha_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ et que M$^{*}$=M=($\alpha'_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$. Alors M.M$^{*}$=($\beta_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ avec $\beta_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \alpha_{ik}\alpha'_{kj}}$. Donc

\begin{displaymath}(*)\; \beta_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{j+k}\alpha_{ik}det(M_{jk})}.\end{displaymath}

Supposons que i$\neq$j et remplaçons dans la matrice M la jième ligne par la ième. Développons ensuite cette dernière matrice suivant cette jième ligne. On obtient pour le déterminant de cette matrice exactement l'expression (*). Mais cette matrice possédant deux lignes égales a un déterminant nul. Donc si i$\neq$j, $\beta_{ij}$=0. Si i=j, $\beta_{ij }=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{j+k}\alpha_{ik}det(M_{ik})}$ qui est exactement égale au développement de det(M) suivant la ième ligne. donc $\beta_{ii}$=det(M). En conclusion M.M$^{*}$=det(M).Id.
Travaillons maintenant sur le produit M$^{*}$.M. Posons ici encore M$^{*}$.M=($\beta_{ij}$) $_{i,j=1,...,n}$ avec $\beta_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n \alpha'_{ik}\alpha_{kj}}$. Donc

\begin{displaymath}(**)\; \beta_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^n (-1)^{j+k}det(M_{ki}).\alpha_{kj}.}\end{displaymath}

Si i$\neq$j, on remplace la ième colonne de M par la jième. Développant cette nouvelle matrice suivant cette ième colonne, on obtient exactement l'expression (**). On termine alors comme précédemment.

Théorème Soit M une matrice carrée d'ordre n. M est inversible dans l'anneau $\cal M$$_n$(k) si et seulement si son déterminant est non nul. De plus, dans le cas où M est inversible, la matrice inverse de M est égale à, M$^{*}$ étant la matrice adjointe de M

\begin{displaymath}M^{-1}=(det(M))^{-1}. M^*\end{displaymath}

et

\begin{displaymath}det(M^{-1})=(det(M))^{-1}.\end{displaymath}


Démonstration Si M est une matrice carrée inversible, alors il existe une matrice N de même ordre que M telle que M.N=N.M=Id. Donc det(M.N)=det(Id)=1. Mais det(M.N)=det(M).det(N). Donc det(M) est inversible dans k ( et est par conséquent non nul) et $det(M^{-1})=(det(M))^{-1}.$ Supposons que det(M) est non nul et calculons. Notons M$^{*}$ la matrice adjointe de M. La proposition précédente donne M.M$^{*}$ = M$^{*}$.M = det(M).Id. Comme det(M) est non nul, det(M) est inversible et il en est de même de M. On obtient alors exactement l'expression voulue pour M$^{-1}$.

Le calcul de la matrice adjointe d'une matrice offre donc un moyen de calculer l'inverse de cette matrice. Ce calcul est cependant souvent très laborieux. Cette technique est utilisée en particulier pour résoudre des systèmes d'équations du premier degré.(Système de Cramer).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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