Définition Soient A et B des ensembles. On appelle loi externe sur B une application
. Par convention, si A et xB, on notera
.
Définition Soit (k,+,.) un corps et soit (E,+) un groupe abélien. Soit aussi :kEE une loi externe sur E ( on utilisera la convention d'écriture précédente). Le triplet (E,+,.) a une structure d'espace vectoriel sur k ( ou de k-espace vectoriel) si:
1 désignant l'unité de la seconde loi de k et xE: 1.x=x.
E
.
E
.
E
.
k est appelé le corps de base de l'espace vectoriel E.
Remarque Par abus d'écriture, on notera E le k-espace vectoriel (E,+,.).
Définition Soit k un corps. Un élément d'un k-espace vectoriel est appelé un vecteur.
Proposition Soit k un corps. Soit E un k-espace vectoriel. On note 0 le neutre de la loi + sur k, 0 aussi le neutre de la loi + sur E et 1 le neutre de la loi . sur k. Soient vE et k. On a les propriétés suivantes:
0v=0
-1v=-v
Si v=0 et que 0 alors v=0.
Démonstration
On a: v+0v=(1+0)v=v. En soustrayant v des deux côtés de cette égalité, on obtient 0v=0.
0=0v=(1-1)v=1v+-1v=v+-1v. -1v est donc l'opposé de v. -1v est alors égal à -v.
Si =0 et que 0 alors existe dans k. On peut multiplier les deux membres de notre égalité de départ par . Cela donne v= .0=0.
Définition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel. Soit V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si:
(V,+) est un sous groupe de (E,+).
Si k et si xV alors xV.
Proposition Soit k un corps. Un sous espace vectoriel d'un k-espace vectoriel est un k-espace vectoriel.
Démonstration Il suffit de vérifier les axiomes définissant les k-espaces vectoriels.
Proposition Soient k un corps, E un k espace vectoriel et V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si et seulement si
k, x,y V,
V.
Démonstration Le sens direct est évident. Pour la réciproque, il suffit de vérifier les deux points de la proposition précédente. Prenons, pour cela, xV et k. Posons =- et y=x. Le vecteur
, qui est élément de V, est égale au vecteur x-x qui est égale au vecteur nul. On en déduit que 0V. D'autre part, en prenant cette fois ci =1, et =-1, on a
=1x-1y=x-y. Le premier vecteur de cette série d'égalité est élément de V, il en est alors de même de x-y. Nous venons ainsi de vérifier que (V,+) était un sous groupe de (E,+). Terminons en remarquant que si k =0 et que x,y V, alors le vecteur x+y est élément de V. Mais il est égal à x. Donc x est élément de V, cqfd.