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Définitions

Définition Soient A et B des ensembles. On appelle loi externe sur B une application $\theta: A\times B \rightarrow B$ . Par convention, si $\alpha$ $\in$ A et x $\in$ B, on notera $\theta(\alpha,x)=\alpha x$ .

Définition Soit (k,+,.) un corps et soit (E,+) un groupe abélien. Soit aussi $\theta$ :k $\times$ E $\rightarrow$ E une loi externe sur E ( on utilisera la convention d'écriture précédente). Le triplet (E,+,.) a une structure d'espace vectoriel sur k ( ou de k-espace vectoriel) si:

1 désignant l'unité de la seconde loi de k et $\forall$ x $\in$ E: 1.x=x.
$\forall \alpha \in k, \forall x,y \in$ E $\alpha(x+y)=\alpha x+ \alpha y$ .
$\forall \alpha, \beta \in k, \forall x\in$ E $(\alpha + \beta ) x=\alpha x + \beta x$ .
$\forall \alpha, \beta \in k, \forall x\in$ E $(\alpha .\beta)x=\alpha(\beta x)$ .

k est appelé le corps de base de l'espace vectoriel E.

Remarque Par abus d'écriture, on notera E le k-espace vectoriel (E,+,.).

Définition Soit k un corps. Un élément d'un k-espace vectoriel est appelé un vecteur.

Proposition Soit k un corps. Soit E un k-espace vectoriel. On note 0 le neutre de la loi + sur k, 0 aussi le neutre de la loi + sur E et 1 le neutre de la loi . sur k. Soient v $\in$ E et $\alpha \in$ k. On a les propriétés suivantes:

0v=0
-1v=-v
Si $\alpha$ v=0 et que $\alpha\neq$ 0 alors v=0.

Démonstration

On a: v+0v=(1+0)v=v. En soustrayant v des deux côtés de cette égalité, on obtient 0v=0.
0=0v=(1-1)v=1v+-1v=v+-1v. -1v est donc l'opposé de v. -1v est alors égal à -v.
Si $\alpha v$ =0 et que $\alpha\neq$ 0 alors $\alpha$ $^{-1}$ existe dans k. On peut multiplier les deux membres de notre égalité de départ par $\alpha$ $^{-1}$ . Cela donne v= $\alpha$ $^{-1}$ .0=0.

Définition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel. Soit V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si:

(V,+) est un sous groupe de (E,+).
Si $\alpha \in$ k et si x $\in$ V alors $\alpha$ x $\in$ V.

Proposition Soit k un corps. Un sous espace vectoriel d'un k-espace vectoriel est un k-espace vectoriel.

Démonstration Il suffit de vérifier les axiomes définissant les k-espaces vectoriels.

Proposition Soient k un corps, E un k espace vectoriel et V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si et seulement si $\forall \alpha, \beta \in$ k, $\forall$ x,y $\in$ V, $\alpha x+\beta y \in$ V.

Démonstration Le sens direct est évident. Pour la réciproque, il suffit de vérifier les deux points de la proposition précédente. Prenons, pour cela, x $\in$ V et $\alpha \in$ k. Posons $\beta$ =- $\alpha$ et y=x. Le vecteur $\alpha x+\beta y$ , qui est élément de V, est égale au vecteur $\alpha$ x- $\alpha$ x qui est égale au vecteur nul. On en déduit que 0 $\in$ V. D'autre part, en prenant cette fois ci $\alpha$ =1, et $\beta$ =-1, on a $\alpha x+\beta y$ =1x-1y=x-y. Le premier vecteur de cette série d'égalité est élément de V, il en est alors de même de x-y. Nous venons ainsi de vérifier que (V,+) était un sous groupe de (E,+). Terminons en remarquant que si $\alpha \in$ k $\beta$ =0 et que x,y $\in$ V, alors le vecteur $\alpha$ x+ $\beta$ y est élément de V. Mais il est égal à $\alpha$ x. Donc $\alpha$ x est élément de V, cqfd.