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Définitions

Définition Soient A et B des ensembles. On appelle loi externe sur B une application $\theta: A\times B \rightarrow B$. Par convention, si $\alpha$$\in$A et x$\in$B, on notera $\theta(\alpha,x)=\alpha x$.

Définition Soit (k,+,.) un corps et soit (E,+) un groupe abélien. Soit aussi $\theta$:k$\times$E$\rightarrow$E une loi externe sur E ( on utilisera la convention d'écriture précédente). Le triplet (E,+,.) a une structure d'espace vectoriel sur k ( ou de k-espace vectoriel) si:

  • 1 désignant l'unité de la seconde loi de k et $\forall$x$\in$E: 1.x=x.
  • $\forall \alpha \in k,   \forall x,y \in$E $\alpha(x+y)=\alpha x+ \alpha y$.
  • $\forall \alpha, \beta \in k,   \forall x\in$E $(\alpha + \beta ) x=\alpha x + \beta x$.
  • $\forall \alpha, \beta \in k,   \forall x\in$E $(\alpha .\beta)x=\alpha(\beta x)$.
k est appelé le corps de base de l'espace vectoriel E. $ $

Remarque Par abus d'écriture, on notera E le k-espace vectoriel (E,+,.).

Définition Soit k un corps. Un élément d'un k-espace vectoriel est appelé un vecteur.

Proposition Soit k un corps. Soit E un k-espace vectoriel. On note 0 le neutre de la loi + sur k, 0 aussi le neutre de la loi + sur E et 1 le neutre de la loi . sur k. Soient v$\in$E et $\alpha \in$k. On a les propriétés suivantes:

  1. 0v=0
  2. -1v=-v
  3. Si $\alpha$v=0 et que $\alpha\neq$0 alors v=0.
$ $

Démonstration

  1. On a: v+0v=(1+0)v=v. En soustrayant v des deux côtés de cette égalité, on obtient 0v=0.
  2. 0=0v=(1-1)v=1v+-1v=v+-1v. -1v est donc l'opposé de v. -1v est alors égal à -v.
  3. Si $\alpha v$=0 et que $\alpha\neq$0 alors $\alpha$$^{-1}$ existe dans k. On peut multiplier les deux membres de notre égalité de départ par $\alpha$$^{-1}$. Cela donne v= $\alpha$$^{-1}$.0=0.
$ $

Définition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel. Soit V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si:

  • (V,+) est un sous groupe de (E,+).
  • Si $\alpha \in$k et si x$\in$V alors $\alpha$x$\in$V.
$ $

Proposition Soit k un corps. Un sous espace vectoriel d'un k-espace vectoriel est un k-espace vectoriel.

Démonstration Il suffit de vérifier les axiomes définissant les k-espaces vectoriels.

Proposition Soient k un corps, E un k espace vectoriel et V un sous ensemble de E. V est un sous espace vectoriel de E si et seulement si $\forall \alpha, \beta \in$k, $\forall$x,y$\in$ V, $\alpha x+\beta y \in$V.

Démonstration Le sens direct est évident. Pour la réciproque, il suffit de vérifier les deux points de la proposition précédente. Prenons, pour cela, x$\in$V et $\alpha \in$k. Posons $\beta$=-$\alpha$ et y=x. Le vecteur $\alpha x+\beta y$, qui est élément de V, est égale au vecteur $\alpha$x-$\alpha$x qui est égale au vecteur nul. On en déduit que 0$\in$V. D'autre part, en prenant cette fois ci $\alpha$=1, et $\beta$=-1, on a $\alpha x+\beta y$=1x-1y=x-y. Le premier vecteur de cette série d'égalité est élément de V, il en est alors de même de x-y. Nous venons ainsi de vérifier que (V,+) était un sous groupe de (E,+). Terminons en remarquant que si $\alpha \in$k $\beta$=0 et que x,y$\in$ V, alors le vecteur $\alpha$x+$\beta$y est élément de V. Mais il est égal à $\alpha$x. Donc $\alpha$x est élément de V, cqfd.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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