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Familles libres, familles génératrices

Dans toute cette section, k désigne un corps.

Définition Soit I un ensemble et soit A= $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ une partie de k indicée par I. On dit que A est à support fini si l'ensemble des éléments i de I tels que $\lambda_i$ est non nul est de cardinal fini.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit A une partie de E. On suppose que A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ où I est un ensemble permettant d'indexer A. On appelle combinaison linéaire des éléments de A tout élément de E donné par

$\begin{displaymath}x=\displaystyle{\sum_{i\in I} \lambda_i x_i}\end{displaymath}$

où $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ est une famille à support fini de scalaires de k.

Remarque Comme la famille des $\lambda_i$ est à support fini, il n'y a pas de problème de convergence de la somme précédente.

Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soit A un sous ensemble de E. L'ensemble des combinaisons linéaires des éléments de A est un sous espace vectoriel de E appelé sous espace vectoriel de E engendré par A. On notera Vect(A) le sous espace vectoriel engendré par A. De plus, si A= $\lbrace$ x,...,x $_n \rbrace$ , on notera Vect(A)=<x,...,x>.

Démonstration Soient x et y deux éléments de E qui s'écrivent comme combinaison linéaire d'éléments de A. Il existe donc des scalaires $\lambda_i$ et $\alpha_i$ de k pour tout i $\in$ I, tels que

$\begin{displaymath}\displaystyle{x=\sum_{i\in I} \lambda_i x_i et y= \sum_{i\in I} \alpha_i x_i}.\end{displaymath}$

Soient $\lambda$ et $\alpha \in$ k. Le vecteur $\lambda$ x+ $\alpha$ y s'écrit

$\begin{displaymath}\lambda x+\alpha y= \displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda.\lambda_i x_i+\alpha.\alpha_i y_i}\end{displaymath}$

qui est encore une combinaison linéaire d'éléments de A. $\alpha$ x+ $\beta$ y est donc élément du sous espace vectoriel engendré par A et cela permet de conclure.

Proposition Soit A une partie d'un k-espace vectoriel E. Le sous espace vectoriel engendré par A est le plus petit sous espace vectoriel de E qui contient A.

Démonstration Tout sous espace vectoriel contenant A contient toute combinaison linéaire de vecteurs de A. Donc le sous espace vecoriel engendré par A est inclu dans tout sous espace vectoriel contenant A.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit aussi V un sous espace vectoriel de E ( qui peut éventuellement être égal à E). Soient A une famille de vecteurs de V. Cette famille est une partie génératrice de V ou génératrice dans V si l'espace vectoriel engendré par A est égal à V, ou autrement dit si Vect(A)=V. On dit encore que A engendre V.

Définition Soit A une partie de E un espace vectoriel sur k. Indexons les éléments de A par l'ensemble I. A est appelée partie libre de E ou famille indépendante de vecteurs de E si pour tout sous ensemble à support fini $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ de k, l'égalité

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{i\in I} \lambda_i x_i=0}\end{displaymath}$

implique que $\lambda_i=0 \forall i=0$ .
Dans le cas contraire la partie A est dite partie liée dans E ou famille dépendante de vecteurs de E.

Proposition Si E est un k-espace vectoriel et que A est une partie liée de vecteurs de E alors l'un des vecteurs de cette partie s'écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs de A.

Démonstration Soit A la partie liée dans E considéré et soit I un ensemble permettant d'indexé cette partie. Posons A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ . La partie A est liée dans E. On peut donc trouver un sous ensemble $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ de scalaire de k non tous nuls tels que

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{i\in I} \lambda_i x_i=0}\end{displaymath}$

Soit i $_0\in$ I tel que $\lambda_{i_0}\neq$ 0. L'égalité précédente peut se ré-écrire:

$\begin{displaymath}\lambda_{i_0}x_{i_0}=-\displaystyle{\sum_{i\in I,i\neq i_0} \lambda_i x_i},\end{displaymath}$

soit en multipliant à droite et à gauche par $\lambda_{i_0}$ $^{-1}$ :

$\begin{displaymath}x_{i_0}=-\displaystyle{\sum_{i\in I,i\neq i_0}\lambda_{i_0}. \lambda_i x_i=0}.\end{displaymath}$

On a ainsi bien écrit un des vecteurs de A comme combinaison linéaire des autres vecteurs de A.

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Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques

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