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Base d'un espace vectoriel

k désigne un corps.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit I un ensemble et soit A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ une famille d'éléments de E. Cette famille est une base de E si elle est à la fois libre dans E et génératrice de E tout entier. On notera généralement les bases sous la forme d'une suite de vecteurs: (x) $_{i\in I}$ .

Définition Soit E un k-espace vectoriel. Soit I un ensemble. Une famille $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ est dite:

libre maximale dans E si elle est libre dans E et que pour tout vecteur y de E différent de x $\forall$ i $\in$ I, la famille $\lbrace x_i ; i\in I, y \rbrace$ est liée dans E.
génératrice minimale si elle engendre E tout entier et si, quand on la prive d'un de ses éléments, elle n'engendre plus E.

Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soit I un ensemble et A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ une famille de vecteurs de E. On a équivalence entre:

A est une base de E.
A est libre maximale dans E.
A est génératrice minimale dans E

Démonstration Montrons 1 $\Rightarrow$ 2: Soit A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ une base de E. A est donc libre et génératrice dans E. Montrons qu'elle est libre maximale. Soit y un vecteur de E qui n'est pas élément de A. Comme A est une base de E, A engendre E et on peut toujours trouver une famille à support fini $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ de scalaires de k tels que

$\begin{displaymath}y=\displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda_i x_i}.\end{displaymath}$

La combinaison linéaire $\displaystyle{y-\sum_{i\in I}\lambda_i x_i}$ est donc nulle alors que ses coefficients ne le sont pas tous. Ceci implique que la famille définie par $\lbrace y \rbrace \cup \lbrace x_i ; i \in I \rbrace$ est liée

et ce quelque soit y dans E. La famille $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ n'est donc incluse dans aucune famille libre plus grande qu'elle même. Elle est donc bien libre maximale.
Montrons maintenant la réciproque, c'est à dire que 2 $\Rightarrow$ 1. Soit $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ une famille libre maximale dans E. Nous devons montrer qu'elle est génératrice. C'est à dire que si x est un vecteur de E, alors x s'écrit comme combinaison linéaire

des

. Prenons donc un vecteur x de E. Comme $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ est libre maximale dans E, la famille $\lbrace x \rbrace \cup \lbrace x_i ; i \in I \rbrace$ est liée

dans E. Cela signifie qu'il existe une famille à support fini $\lbrace \lambda \rbrace \cup \lbrace \lambda_i ; i \in I \rbrace$ de scalaires de k non tous nuls tels que

$\begin{displaymath}\lambda x+\displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda_i x_i}=0.\end{displaymath}$

Si $\lambda$ =0 alors cela implique que la famille $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ n'est pas libre dans E. $\lambda$ est donc inversible et on peut écrire:

$\begin{displaymath}x=\lambda^{-1}\displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda_i x_i}.\end{displaymath}$

Comme x est quelconque dans E, la famille $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ est bien génératrice dans E.
Montrons que 1 $\Rightarrow$ 3. Soit A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ une base de E. A est donc génératrice. Montrons que A est génératrice minimale. Supposons que ce ne soit pas le cas. Il existe alors un vecteur x $_{i_0}$ de A qui est combinaison linéaire des autres éléments de A. A ne peut alors être libre. A est donc nécessairement génératrice minimale.
Montrons enfin que 3 $\Rightarrow$ 1. Considérons une famille A= $\lbrace x_i;i\in I \rbrace$ de vecteurs de E. Supposons que cette famille est génératrice minimale et montrons que c'est une base de E. Il faut vérifier que A est une famille libre. Si ce n'est pas le cas, il existe $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ une famille à support fini de scalaires de k telle que

$\begin{displaymath}\displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda_i x_i}=0\end{displaymath}$

et telle que les $\lambda_i$ ne sont pas tous nuls. Soit i $_0\in$ I tel que $\lambda_{i_0}\neq$ 0. On peut écrire x $_{i_0}$ en fonction des vecteurs x

, i $\neq$ i

. Par conséquent, comme tout vecteur de E s'écrit en fonction de A, tout vecteur de E s'écrit en fonction de A $\setminus \lbrace x_{i_0} \rbrace$ . Ainsi, A n'est pas génératrice minimale dans E. Cela est contraire à notre hypothèse de départ. Donc A est bien une base de E.

Définition - Proposition Soit E un k-espace vectoriel. Soit (e) $_{i\in I}$ une base de E. Pour un élément x de E il existe une unique famille à support fini $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ de scalaire de k telle que

$\begin{displaymath}x=\displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda_i e_i}.\end{displaymath}$

Le scalaire $\lambda_i$ s'appelle la ième coordonnée du vecteur x relativement à la base (e) $_{i\in I}$ .

Démonstration Comme (e) $_{i\in I}$ engendre E, il existe une famille à support fini $\lbrace \lambda_i; i \in I \rbrace$ telle que $x=\displaystyle{\sum_{i\in I}\lambda_i e_i}.$ Supposons qu'il existe une seconde famille à support fini $\lbrace \alpha_i; i \in I \rbrace$ telle que $x=\displaystyle{\sum_{i\in I}\alpha_i e_i}.$ Alors $\displaystyle{\sum_{i\in I}(\lambda_i-\alpha_i) e_i}=0.$ Mais la famille (e) $_{i\in I}$ est libre dans E. La seule possibilité pour l'égalité precédente est que $\lambda_i-\alpha_i$ =0 $\forall i\in$ I. Soit encore $\lambda_i=\alpha_i \forall i\in$ I. Cela établit bien l'unicité des coordonnées de x relativement à une base de E.