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Dimension d'un espace vectoriel

Définition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel. E est un k-espace vectoriel de dimension finie si il possède une famille génératrice de cardinal fini. Dans le cas contraire, E est dit de dimension infinie.

Proposition Soit E un espace vectoriel sur un corps k. On suppose que E est de dimension finie. Alors E possède une base. De plus cette base est de cardinal fini.

Démonstration Comme E est de dimension finie, il possède une famille génératrice finie A= $\lbrace e_1,...,e_n \rbrace$. A étant de cardinal fini, on peut extraire de A la plus petite partie de A qui soit génératrice de E. Nommons A' cette sous partie de A. A' est alors génératrice minimale. C'est donc une base de E. A' est clairement de cardinal fini.

Remarque On commence à s'en douter: dans un espace vectoriel de dimension finie, toutes les bases ont même cardinal. Ce cardinal sera appelé la dimension de l'espace vectoriel. Le lemme qui suit a pour objet de préparer la démonstration de cette propriété.

Lemme Soit E un espace vectoriel sur un corps k. Soient e$_1$,...,e$_n$ des vecteurs de E formant une base de E. Soient aussi v$_1$,...,v$_m$ des vecteurs de E. Supposons que m>n. Alors v$_1$,...,v$_m$ forme une famille liée de vecteurs de E.

Démonstration Raisonnons par l'absurde et supposons que la famille v$_1$,...,v$_m$ est libre dans E. Comme (e$_i$)$_{i=1,...,n}$ engendre E, on peut trouver des coefficients $\lambda_i \in$k pour i=1,...,n tels que v$_1$= $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \lambda_i e_i}$. v$_1$ étant non nul, on peut supposer, quitte à re-indexer les differents termes de la somme, que $\lambda_1 \neq$0. On est alors en droit d'écrire:

\begin{displaymath}\lambda_1 e_1=v_1-\displaystyle{\sum_{i=2}^n \lambda_i e_i}.\end{displaymath}

Soit encore:

\begin{displaymath}e_1=\lambda_1^{-1} v_1-\displaystyle{\sum_{i=2}^n \lambda_1^{-1}\lambda_i e_i}.\end{displaymath}

Nous venons en fait de mettre e$_1$ sous la forme e$_1$= $\alpha_1 v_1+\displaystyle{\sum_{i=2}^n \alpha_i e_i}$$\alpha_i \in$k. Montrons par récurrence que $\forall$l=1,...,m $\exists \beta_1,....,\beta_l\in$k tels que e$_l$=$\beta_1$v$_1$+...+$\beta_l$v$_l$+ $\displaystyle{\sum_{i=l+1}^n \beta_i e_i}$. Cela revient à montrer que e$_l\in$Vect(v$_1$,...,v$_l$,e$_{l+1}$,...,e$_n$). Supposons cette propriété vraie à l'ordre l et montrons la à l'ordre l+1. On sait que v$_{l+1}\in$<e$_1$,...,e$_n$> mais $\forall$i=1,...,l e$_i\in$<v$_1$,...,v$_i$,e$_{i+1}$,...,e$_n$>. Autrement dit $\forall$i=1,...,l e$_i\in$<v$_1$,...,v$_l$,e$_{l+1}$,...,e$_n$>. On peut donc trouver des coefficients $\alpha_1$,...,$\alpha_m$ tels que v$_{l+1}$= $\alpha_1 v_1+....\alpha_{l} v_l+ \alpha{l+1}+...+\alpha_n e_n$. On peut de plus supposer que l'un des coefficients $\alpha_{l+1}$,...,$\alpha_n$ est non nul. Si cela n'était pas le cas alors la famille v$_1$,...,v$_{l+1}$ serait liée dans E, ce qui est contraire à notre hypothèse de récurrence. Supposons, quitte à re-indexer les e$_i$ que $\alpha_{l+1}$ est non nul. On a alors:

\begin{displaymath}\alpha_{l+1} e_{l+1}=\alpha_1 v_1+...+\alpha_l v_l-\displaystyle{\sum_{i=l+1}^n \alpha_i e_i}.\end{displaymath}

En multipliant chacun des membres de cette égalité par $\alpha_{l+1}^{-1}$, on obtient une écriture de e$_{l+1}$ de la forme:

\begin{displaymath}e_{l+1}=\gamma_1 v_1+...+\gamma_l v_l-\displaystyle{\sum_{i=l+1}^n \gamma_i e_i}.\end{displaymath}

$\gamma_i$ est élément de k $\forall$ i=1,...,n. Ceci termine notre récurrence. Mais comme n>m, chaque e$_m$ s'écrit: e$_m$= $\displaystyle{\sum_{i=1}^m \alpha_i v_i}$$\alpha_i \in$k $\forall$i=1,...,n. On déduit de cela que pour tout i=1,...,n, e$_i\in$<v$_1$,...,v$_n$>. Mais comme E=Vect(e$_1$,...e$_n$), v$_p$ est lié à la famille $\lbrace$ v$_i$ i=1,...,n $\rbrace$ si p>n. Ce qui est en contradiction avec notre hypothèse de départ et prouve la proposition.

On peut maintenant formuler et démontrer le théorème fondamental suivant:

Théorème Soit k un corps et soit E un k-espace vectoriel. Si E est de dimension finie alors toutes les bases de E ont même cardinale.

Démonstration Comme E est de dimension fini, E possède au moins une base. Supposons qu'il en existe deux et montrons qu'elles ont même cardinal.Soient e = (e$_1$,...,e$_n$) et f = (f$_1$,...,f$_m$) deux bases de E. Supposons que m>n. Comme e est une base de E, on peut appliquer le lemmme précédent. Par conséquent f est liée. Ceci est impossible car f est une base de E. Donc m$\leq$n. En faisant le même raisonement en permutant le rôle de e et celui de f, on obtient n$\leq$m. On est alors en droit d'écrire: n=m.

Ce théorème démontré, la définition suivante a un sens.

Définition Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps k. Si E est réduit à son élément nul alors on dit que la dimension de E est 0. Sinon, on appelle dimension de E et on note dim E, le cardinal d'une base de E.

Le théorème suivant est aussi vrai pour un k-espace vectoriel de dimension infinie. La démonstration cependant nécessite l'usage de l'axiome de choix. Nous nous y intéresserons dans le paragraphe ``Espaces vectoriels de dimension infinie''.

Théorème de la base incomplète Soient k un corps et E un espace vectoriel de dimension finie sur k. Soit n=dim E et soit e=(e$_1$,...,e$_m$) une famille libre de E. On suppose que m<n. On peut alors trouver des vecteurs f$_{m+1}$,...,f$_n$ dans E tels que (e$_1$,...,e$_m$,$_{m+1}$,...,f$_n$) soit une base de E. On dit qu'on à complété la famille e en une base de E.

Démonstration Comme e n'engendre pas E, on peut trouver un vecteur f$_1$ dans E tel que f$_1$ n'est pas élément de Vect(e$_1$,...,e$_m$). La réunion e $\cup \lbrace f_1 \rbrace$ forme donc une famille libre de E. Si cette nouvelle famille est génératrice de E, alors c'est une base de E et m+1=n. Le théorème est démontré. Si ce n'est pas le cas, on recommence le processus. On construit ainsi des vecteurs f$_{m+1}$,...,f$_{m+l}$. Ce processus s'arrête nécessairemant quand m+l=n. (Sinon on construit une famille libre de cardinal plus grand que la dimension de E).


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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