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Sous espace vectoriel, sous espaces supplémentaires et somme directe de sous espaces vectoriels

k désigne un corps. Rappelons qu'un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel E est un espace vectoriel pour la loi interne et la loi externe induites de E.

Définition Soit E un k espace vectoriel et soit V un sous espace vectoriel de E. Une base du sous espace vectoriel V est une base de V en tant qu'espace vectoriel.

Définition On dit qu'un sous espace vectoriel est de dimension finie si il est engendré, en tant qu'espace vectoriel, par une famille de cardinal fini.

Remarquons que si un sous espace vectoriel d'un espace vectoriel est de dimension finie alors ce sous espace possède des bases et que toutes ces bases ont même cardinal.

Définition La dimension d'un sous espace vectoriel de dimension finie est le cardinal d'une base de ce sous espace vectoriel.

Définition Soient V et V' deux sous espaces vectoriels du k-espace vectoriel E. On note V+V' l'ensemble somme de ces deux sous espaces vectoriels V et V':

\begin{displaymath}V+V'=\lbrace v+v';v\in V  v'\in V' \rbrace.\end{displaymath}


Proposition Si V et V' sont deux sous espaces vectoriels du k-espace vectoriel E alors V+V' est aussi un sous espace vectoriel de E.

Démonstration C'est facile, il suffit de vérifier que si x et y sont éléments de E alors il en est de même de x-y.

Définition Soit E un k-espace vectoriel et soient V et V' deux sous espaces vectoriels de E. On dit que V et V' sont en somme directe si V$\cap$V'= $\lbrace 0 \rbrace$. On note V$\oplus$V' le sous espace somme de deux sous espaces supplémentaires.

Définition Soient V et V' deux sous espaces vectoriels du k-espace vectoriel E. On suppose que V et V' sont en somme directe dans E et que V$\oplus$V'=E alors V et V' sont dit supplémentaires dans E. V est un supplémentaire de V' dans E.

Le théorème suivant est énoncé et démontré dans ce paragraphe dans le cadre de la dimension finie. Il est cependant encore vrai en dimension infinie mais la démonstration nécessite l'utilisation de l'axiome de choix. Celle ci sera établie dans le paragraphe ``espace vectoriel de dimension infinie''.

Théorème Soit E un k-espace vectoriel de dimension finie. Soit V un sous espace vectoriel de E. Alors V possède un sous espace supplémentaire dans E.

Démonstration Soit n=dim E. Comme V est un sous espace vectoriel de E, il est aussi de dimension finie. Posons k=dim V. Soient e$_1$,...,e$_k$ des vecteurs de V qui définissent une base de V. Cette famille, libre dans V, l'est aussi dans E. L'utilisation du théorème de la base incomplète nous permet d'être assurer de l'existence de n-k vecteurs e$_{k+1}$,...,e$_n$ tels que la famille (e$_1$,...,e$_n$) forme une base de E. Soit V' le sous espace vectoriel engendré par e$_{k+1}$,...,e$_n$. Il est clair que V$\cap$V'= $\lbrace 0 \rbrace$ et que V+V'=E. V' est donc bien un sous espace supplémentaire au sous espace V.

Théorème Si V et V' sont deux sous espaces vectoriels de dimension finie du k-espace vectoriel E alors dim V+dim V'=dim (V+V')+dim V$\cap$V'

Démonstration Remarquons que V$\cap$V' est un sous espace vectoriel de V et de V'. Posons m=dim V, m'=dim V'et k=dim V$\cap$V'. Soit aussi (e$_1$,...,e$_m$) une base de V, que l'on complète en une base (e$_1$,...,e$_k$,f$_{k+1}$,...,f$_m$) de V et en une base (e$_1$,...,e$_k$,f'$_{k+1}$,...,f$_m'$) de V'. La famille $\lbrace$ e$_1$,...,e$_k$,f$_{k+1}$,...,f$_m$,f'$_{k+1}$,...,f$_m'$ $\rbrace$ est donc une base de V+V'. On peut alors écrire les égalités: dim(V+V')=k+m-k+m'-k=m+m'-k=dim V+dim V'-dim V$\cap$V'.

Définition

  • Un sous espace vectoriel de dimension un est appelé une droite vectorielle.
  • Un sous espace vectoriel de dimension un est appelé une plan vectoriel.
$ $

Définition Soit p un entier positif. On appelle rang d'un système de vecteurs v$_1$,...,v$_p$ de l'espace vectoriel E la dimension de Vect(v$_1$,...v$_p$).

Comme les vecteurs v$_1$,...,v$_p$ sont en nombre fini, la dimension du sous espace vectoriel qu'ils engendrent est nécessairement de dimension finie. La définition est donc correcte.


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©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
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