Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
159 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 
Espaces vectoriels de dimension infinie next up previous
monter: Espaces vectoriels précédent: Sous espace vectoriel, sous

Espaces vectoriels de dimension infinie

Comme nous l'avons déjà mentionné, les propriétés d'existence d'un supplémentaire pour un sous espace vectoriel, d'existence d'une base et le théorème de la base incomplète sont vraies en dimension infinie. Nous allons maintenant établir ces 3 propriétés.

Proposition Soit k un corps et E un k-espace vectoriel. Soit V un sous espace vectoriel de E. Soient aussi W1 un sous espace vectoriel de E tel que V$\cap$W= $\lbrace 0 \rbrace$ et W2 un sous espace vectoriel de E tel que V+W2=E. Alors il existe un supplémentaire W de V contenu dans W2 et contenant W1.

Démonstration Considérons l'ensemble A des sous espaces vectoriels de E contenant W1 et contenus dans W2. A n'est pas vide car W1 est élément de A. A est partiellement ordonné par la relation ``être inclu dans ou être égal à'':$\subseteq$. Considérons une partie totalement ordonné de A. Considérons ensuite la réunion des éléments de cette partie et notons la U. Comme la partie est totalement ordonnée, cette réunion est encore un sous espace vectoriel de E qui contient W1 et qui est contenu dans W2. Cette réunion a comme seul élément commun avec V le vecteur nul de E. U est de plus un majorant de cette partie pour la relation d'ordre donné par l'inclusion. A est donc un ensemble inductif. Appliquons le lemme de Zorn. Il existe un élément maximal pour A. Notons le W. W vérifie:

  1. W$\cap$V= $\lbrace 0 \rbrace$.
  2. W1$\subseteq$W$\subseteq$W2.
  3. $\forall$ W' $\in$A, W'$\subseteq$W.

Montrons que W est un supplémentaire à V. Au regard de ce que l'on sait déjà, il suffit de pouver que V+W=E. Soit x$\in$E=V+W2. x s'écrit: x=v+w$_2$ où v$\in$V et où w$_2 \in$W2. Si on trouve w$\in$W et v'$\in$V tels que x=v'+w alors c'est gagné. Si w$_2 \in$W, w est trouvé. Sinon, on considére le sous espace vectoriel X engendré par W et w$_2$. Ce sous epace vectoriel contient strictement W. Par conséquent, comme W est maximale dans A, X n'appartient pas à A. Mais X vérifie les points 2 et 3 précédents. Il ne vérifie donc pas le point 1. Cela signifie qu'il existe un vecteur y$\in$X$\cap$V. y est donc d'une part élément de V mais a d'autre part une écriture de la forme y=w'+$\lambda$w$_2$$\lambda\in$k et où w'$\in$W. Si $\lambda$=0, alors y, élément de V, est aussi élément de W. Cela est impossible car W$\in$A. Donc $\lambda \neq$0. Alors: w$_2$= ${1 \over \lambda}$(y-w)'. Cela donne: x=v+ ${1 \over \lambda}$y- ${1 \over \lambda}$w'. Mais v+ ${1 \over \lambda}$y$\in$V et ${1 \over \lambda}$w'$\in$W. On a bien obtenu la décomposition voulue et notre théorème est démontré.

On peut formuler le corollaire immédiat à ce résultat:

Corollaire Soit k un corps et soit E un k-espace vectoriel. Soit V un sous espace vectoriel de E. Alors V possède un supplémentaire dans E.

Démonstration C'est immédiat via la proposition precédente.

Proposition Soit E un espace vectoriel (non réduit à $\lbrace 0 \rbrace$) sur le corps k. E possède une base.

Démonstration Soit A l'ensemble de toute les familles libres de E. A est non vide car si v est un vecteur non nul de E alors $\lbrace$v$\rbrace$ est une famille libre dans E. A est un ensemble partiellement ordonné par l'inclusion. Soit B une partie de A totalement ordonnée non vide. Alors la réunion des éléments de cette famille est encore un élément de A. Cette réunion, de plus, est un majorant de A. Donc A est inductif. A possède alors un élément maximal. Notons F cette famille libre de vecteurs de E et élément maximal de A. Cette famille est libre maximale dans E. C'est par conséquent une base de E.

Proposition Théorème de la base incomplète en dimension infinie Soit (e$_i$)$_{i\in I}$ une partie génératrice de E. Soit I' un sous ensemble de I tel que (e$_i$)$_{i\in I'}$ est libre dans E. Alors il existe I'$\subset$I''$\subset$I tel que (e$_i$)$_{i\in I''}$ soit une base de E.

Démonstration Remarquons qu'on a présupposer l'existence de partie génératrice dans E. Ceci est, d'après la propriété précédente, évident. Considérons cette fois ci l'ensemble A des familles libres (e$_i$)$_{i\in J}$ avec I'$\subset$J$\subset$I. A est ordonné partiellement par l'inclusion. Si B est une partie de A totalement ordonnée pour l'inclusion, alors la famille réunion des éléments de B est encore élément de A. De plus, cette réunion majore B. On en déduit que A est inductif. D'après le lemme de Zorn, A possède un élément maximal. Soit I'$\subset$J$\subset$I tel que (e$_i$)$_{i\in J}$ soit l'élément maximal de A. Cette famille est libre. Montrons qu'elle est aussi génératrice. Il suffit pour cela de remarquer que pour tout vecteur e$_k$, avec k n'appartenant pas à J, la famille (e$_i$) $_{i\in J} \cup\lbrace$e$_k\rbrace$ est liée dans E. Par conséquent, comme (e$_i$)$_{i\in I}$ engendre E et que (e$_i$) $_{i\in I}\subset$Vect((e$_i$)$_{i\in J}$) alors (e$_i$)$_{i\in J}$ engendre E. C'est donc bien une base de E.


next up previous
monter: Espaces vectoriels précédent: Sous espace vectoriel, sous
Emmanuel_Vieillard-Baron_pour_les-mathematiques
 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page