Définitions

Définition Soient E et F des k-espaces vectoriels et une application de E dans F. est une application k-linéaire si pour tout x et y dans E et tout et dans k, (x+y)=(x)+(y).
On notera (E,F) l'ensemble des applications linéaires de E dans F. On utilisera, quand aucune confusion n'est à craindre, le mot ``linéaire'' à la place de ``k-linéaire''.

Définition Si est une application linéaire du k espace vectoriel E dans le k espace vectoriel F alors:

• Si E=F est un endomorphisme. L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel E sera noté (E).
• Si est bijective est un isomorphisme.
• Si E=F et que est bijective alors est un automorphisme. L'ensemble des automorphismes d'un espace vectoriel sera noté GL(E) (Groupe linéaire de E).

L'utilisation du mot groupe dans la définition précédente sera justifiée plus loin.

Définition Deux espaces vectoriels sont isomorphes si il existe un isomorphisme entre ces deux espaces vectoriels.

L'importance des isomorphismes entre les espaces vectoriels est la même que celle des isomorphismes en théorie des groupes ou que celle des homéomorphismes entre espaces topologiques. Des espaces vectoriels isomorphes auront les mêmes propriétés ``vectorielles''. Cette notion permettra de classer les espaces vectoriels. Toute propriété ``vectorielle'' vraie pour un espace vectoriel donné sera vraie pour un espace vectoriel qui lui est isomorphe.

Proposition ``Etre isomorphe à'' est une relation d''équivalence sur l'ensemble des espaces vectoriels sur un corps k.

Démonstration C'est facile.

Définition Soit E un k-espace vectoriel. L'application qui à un vecteur x de E associe lui même est appelée application identique sur E ou Identité de E. On la note Id ( ou Id quand aucune confusion n'est à craindre ): x E, Id(x)=x. On vérifie immédiatement que cette application est linéaire.